Como ha señalado el profesor Mummert, la noción de "definición predicativa" es vaga, aunque no estoy de acuerdo en que lo mismo ocurra con las "matemáticas predicativas". Hay muchas cuestiones complicadas en juego.
Con respecto a la "definición", ¿es "obvio" que las matemáticas deben basarse en "primitivos indefinidos"? Russell y Whitehead hicieron tal afirmación. Encontrará un análisis detallado con crítica de "Principia Mathematica" en el libro $\underline{Definition}$ por Richard Robinson. Entre los tipos de definiciones que se encuentran en las matemáticas no fundamentales está la "definición implícita". Y el profesor Robinson las considera formas legítimas de definición matemática. Si se reflexiona sobre el asunto con detenimiento, se verá que la "definición intensional" -sobre la que Church introdujo el cálculo lambda- es, de hecho, una variación de la definición implícita. Las funciones que Church introdujo pueden aplicarse a sí mismas. Tales funciones no son representables en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel porque el axioma de fundamentación restringe esa noción de conjunto a estar bien fundamentado. Así, la extensión de una función en el sentido de lo que hizo Church (es decir, su representación como conjunto de pares ordenados) tendría que aparecer como un elemento del dominio de la función. El axioma de la fundamentación restringe contra esto las cadenas descendentes infinitas de relaciones de pertenencia.
Ahora, considera la definición,
$$\forall x \forall y ( x \subset y \leftrightarrow ( \forall z ( y \subset z \rightarrow x \subset z ) \wedge \exists z ( x \subset z \wedge \neg y \subset z ) ) )$$
Utilizo esta forma de frase tanto para la teoría de conjuntos como para la aritmética (interpretada como divisor propio) en la que estoy interesado. La sintaxis es claramente circular. ¿Es una definición impredicativa?
Según una monografía de Moschovakis, una oración de esta naturaleza parece impredicativa si uno la atribuye ingenuamente como una oración de segundo orden, pero es, de hecho, recursivamente constructiva. Y, de hecho, se puede encontrar una oración de esta forma utilizada en $\underline{Set Theory}$ por Kunen en su discusión sobre el forzamiento. En cambio, la recursión transfinita completa es presentada por Jech en la primera edición de su libro $\underline{Set Theory}$ .
Cuando digo que la "matemática predicativa" no padece el mismo problema que la "definición predicativa", es porque tiene su origen en Russell y Whitehead con el propósito expreso de evitar la circularidad que ellos creían responsable de las numerosas paradojas iniciales de la teoría de conjuntos. Así, uno entiende los conjuntos, en primer lugar, como colecciones de individuos que no son, ellos mismos, una colección. Luego, uno puede formar conjuntos adicionales a partir de esos individuos y esos conjuntos iniciales de individuos. El siguiente "tipo" serán los conjuntos formados por "objetos" obtenidos previamente mediante la "formación de conjuntos". Pido disculpas por terminar con todas estas citas. Pero, en el lenguaje natural se complica. En combinación con los axiomas de unión y potencia de conjuntos, el axioma de fundamento proporciona esta estructura.
Este tipo de distinción puede encontrarse en Aristóteles. Para Aristóteles, los individuos son sustancias primarias. Nociones como "especie" y "género" son sustancias en el sentido de que lo que categorizan son individuos. Pero, Aristóteles se refiere a ellas como sustancias secundarias.
Una de las cosas interesantes que uno descubre al leer a Aristóteles es que su única advertencia contra la circularidad es la de no tratar de atribuir simultáneamente la verdad al razonamiento deductivo y al inductivo. En las matemáticas modernas, esto parece estar relacionado con el teorema de interpolación de Lyndon. La demostración de ese teorema utiliza formas normales de negación. El significado de esto es el lenguaje restringido de segundo orden presentado por Flum y Ziegler a principios de la década de 1980. Sus reglas de formación se rigen por las formas normales de negación, mientras que su semántica coincide con la semántica de primer orden en topologías triviales y topologías discretas. Es evidente que la matemática predicativa evitará invocar simultáneamente el cuantificador universal y el cuantificador existencial. Enfatiza el cuantificador existencial como semánticamente anterior al cuantificador universal. Pero, sin alguna acomodación a la lógica, la definición sintáctica de los individuos (en contraposición a las relaciones) meramente sobre la base de "propiedades" pone a uno en riesgo de atribuir la verdad tanto al cuantificador universal como al cuantificador existencial simultáneamente.
Esto es lo que intenta restringir la distinción entre "definición predicativa" y "definición impredicativa". Pero no está nada claro que una clasificación de definiciones sea el vehículo adecuado. Lo que está en juego es la afirmación de que "las matemáticas son extensionales" y la interpretación de los cuantificadores como colecciones que son objetos. La circularidad de las definiciones intensionales y de las definiciones recursivas no parece llevar siempre a la paradoja.
