¿Cómo se resuelve desigualdades de la forma $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \geq 1$?

Question

Estoy atascado tratando de resolver una desigualdad de la forma $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \geq 1$; específicamente, $\left|\frac{2x + 5}{x + 1}\right| \geq 1$

He probado el enfoque que se enseña para la solución de las desigualdades en general, y resolver primero para x cuando la parte encerrada en valor absoluto de los signos es $\geq 1$, y luego se resuelven cuando se es $\leq -1$, pero el taponamiento en los números para el dominio resultante $[-4, -2]$ nuevo en la desigualdad original resultó en algunas respuestas que no eran $\geq 1$.

Donde he ido mal en el intento de resolver esta desigualdad? Cómo es esto diferente de la solución de una desigualdad como $\left|\frac{3}{x + 1}\right| \geq 1$?

EDIT: Vale, ya estoy claramente cachondeo esto horriblemente(y ahora se dan cuenta de que yo estaba distraída tomar el cruce y no la unión de mis resultados, a pesar de tener no se mezclen los dos muchas veces antes), voy a editar con los detalles de la solución que yo estaba tratando y que me había confundido antes de plantear la pregunta. Así:

$\left|\frac{2x + 5}{x + 1}\right| \geq 1$

Significado 1: $\frac{2x + 5}{x + 1} \geq 1$ o 2: $\frac{2x + 5}{x + 1} \leq -1$

Abordar la primera: 1 multiplicado por el $x + 1$, olvidando a cuenta por el hecho de que $x + 1$ podría ser potencialmente negativos: $2x + 5 \geq x + 1$, luego reorganizar para $x \geq -4$.

Ahora bien, la otra desigualdad: multiplica -1 $x + 1$, de nuevo olvidando considerar $x + 1$ negativo: $2x + 5 \leq -x - 1$ , reorganizar y dividir por 3 para $x \leq -2$.

Dominio es el de la unión, por lo $[-4, \infty] \cup [-\infty, -2]$, lo $R - { 1 }$. Obviamente, esto no es correcto, como conectar -3 muestra.

Así, en las desigualdades, donde el denominador es algo de la función g(x), si me separé de ella y elegir a multiplicar, se que tengo que resolver cada parte de la desigualdad de dos veces(una vez suponiendo que g(x) es positivo, por segunda vez asumiendo que es negativo) y, a continuación, compruebe que la solución tiene sentido conectando los números?

Answer 1

Su respuesta de $[-4,-2]$ parece ser la solución a $\left|\frac{2x + 5}{x + 1}\right| \leq 1$. Sin ver todo su trabajo, no puedo estar seguro de lo que pasó.

En general, para las desigualdades de este tipo (en realidad, casi cualquier desigualdades que implican un cociente con variables en el denominador), el método que yo sugiero es la siguiente:

1. Dividido en dos desigualdades para resolver por separado: $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 1$ o $-1\geq \frac{f(x)}{g(x)}$. Una vez que estos se resuelven, tomar la unión de los conjuntos de soluciones (sólo una de estas desigualdades deben ser verdaderas para su desigualdad original).

2. Para cada una de estas dos desigualdades, manipularlos de manera que la comparación es 0 en lugar de 1 o -1. Por ejemplo, $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 1$ puede ser reescrita como $\frac{f(x)}{g(x)}-1\geq 0$ o $\frac{f(x)-g(x)}{g(x)} \geq 0$.

3. A la hora de resolver una desigualdad que compara una expresión de la forma $\frac{a(x)}{b(x)}$ a cero, el conjunto solución será la unión de los intervalos cuyos extremos son los ceros de $a(x)$ o $b(x)$. Que es:

   • determinar los ceros de $a(x)$ $b(x)$
   • la trama de los ceros en una línea de números
     • el uso de círculos abiertos (excluidos los valores) para los ceros de $b(x)$
     • si la desigualdad es$\leq$$\geq$, el uso de círculos cerrados (incluidos valores) para los ceros de $a(x)$
     • si la desigualdad es $<$ o $>$, el uso de círculos abiertos para los ceros de $a(x)$
   • para cada región entre dos ceros, la prueba de un valor en la desigualdad que se está resolviendo
   • si ese valor hace que la desigualdad es cierto, entonces la región es parte de la solución

   Esto es a veces llamado el "límite algoritmo" o la "prueba-método de punto" para la solución de las desigualdades.

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edit: con Respecto a "si yo dividido y elegir a multiplicar, se que tengo que resolver cada parte de la desigualdad de dos veces," bueno... casi.

Abordar la primera: 1 multiplicado por el $x + 1$, olvidando a cuenta por el hecho de que $x + 1$ podría ser potencialmente negativos: $2x + 5 \geq x + 1$, luego reorganizar para $x \geq -4$.

Aquí, usted debe tener $(2x+5\geq x+1\text{ and }x\geq -1)\text{ or }(2x+5\leq x+1\text{ and }x<-1)$. En la resolución, recuerde que la "y" se convierte en una intersección de conjuntos de soluciones y la "o" se convierte en una unión de conjuntos de soluciones.

Como lo había indicado en los comentarios, yo uso el método que he descrito originalmente con el fin de evitar este tipo de casos.

edit 2: Como un ejemplo del método que describo arriba, vamos a resolver $\frac{2x+5}{x+1}\geq 1$. Resta 1 de ambos lados, obtener un denominador común en el lado izquierdo, y combinar los términos para obtener $\frac{x+4}{x+1}\geq 0$. El único cero de la que el numerador es de -4; el único cero del denominador es -1. Representación gráfica de estos en un número de línea nos da: $$\leftarrow\!\!\underset{-4}{-\!\!\bullet\!\!-}\!\!-\!\!\underset{-1}{-\!\!\circ\!\!-}\!\!\rightarrow$$ (círculo abierto en -1 por $x=-1$ hace que el cociente indefinido, círculo cerrado en -4 debido a $x=-4$ hace que el numerador es 0, por lo que el cociente es 0, y la desigualdad es $\geq 0$).

Ahora, hay 3 intervalos de prueba: $(-\infty,-4]$, $[-4,-1)$, y $(-1,\infty)$. Relativamente simple-a-los valores de la prueba en los intervalos son -5, -2 y 0, respectivamente. $\frac{-5+4}{-5+1}=\frac{-}{-}=+\geq 0$; $\frac{-2+4}{-2+1}=\frac{+}{-}=-\not\geq 0$; $\frac{0+4}{0+1}=\frac{+}{+}=+\geq 0$. Así, la solución es $(-\infty,-4]\cup(-1,\infty)$.

(Para completar el problema original, usted todavía necesita para resolver $\frac{2x+5}{x+1}\leq -1$ y tomar la unión de la solución con el grupo que acaba de encontrar.)

Answer 2

El conjunto solución de la desigualdad $$|f(x)/g(x)|\geq1$$ is equal to the union of the solutions sets of the inequalities $$f(x)/g(x)\leq-1$$ and $% $ $f(x)/g(x)\geq1,$para resolver estos dos y calcular la Unión.

Answer 3

También puede reescribir en forma equivalente como

$$f^2(x) \ge g^2(x) \wedge g(x) \neq 0$$

es decir,

$$ (f(x)+g(x))(f(x)-g(x)) \ge 0 \wedge g(x) \neq 0$$

En su caso particular, obtenemos

$$ (3x+6)(x+4) \ge 0 \wedge x+1 \ne 0$$

Que es equivalente a

$$ (x \ge -2 \vee x \le -4) \wedge x \ne -1$$

El $\wedge$ Y e $\vee$ representa O, por lo que el conjunto solución es $x$ no es -1 Y bien $x \ge -2$ O $x \le -4$, yo.e $$\mathbb{R} - ((-4,-2) \cup \{1\})$$

Ya que parece que tienes la respuesta invertida, mi conjetura es que usted multiplicado uno de ustedes desigualdades por un número negativo en algún momento y se olvidó de revertir la desigualdad.

Por ejemplo, $$ x < 1$$ Mulitplying por $-1$ da

$$ -x > -1$$

Pero si usted se olvida de revertir la desigualdad se da $$ -x < -1$$, que es incorrecta.

Answer 4

Algebraicamente, Utilizar las propiedades de la función valor absoluto (que propiedades?) y la diferencia de dos cuadrados para escribir:

$\frac{|2x+5|}{|x+1|}\geq 1$,

$\Rightarrow |2x+5|\geq |x+1|$, $x\neq -1$.

$\Rightarrow |2x+5|^2\geq |x+1|^2$,

$\Rightarrow (2x+5)^2-(x+1)^2\geq 0$,

$\Rightarrow [(2x+5)+(x+1)][(2x+5)-(x+1)]\geq 0$,

$\Rightarrow (3x+6)(x+4)\geq 0$, $x\neq -1$.

Esta es una cóncava hacia arriba cuadrática tan positivo fuera de las raíces (pero no a $-1$). La solución es $((-\infty,-4]\cup[-2,\infty))\backslash\{-1\}$.

Geométricamente, Nuestra desigualdad lee:

$\frac{|2x+5|}{|x+1|}\geq 1$.

Ahora si $x+1\neq0\Leftrightarrow x\neq -1$ (que tenemos que revisar por separado... sí no puede ser una solución), podemos multiplicar ambos lados por la cantidad positiva $|x+1|$ a rendimiento $|2x+5|\geq |x+1|$.

Ahora $2x+5$ es una línea de pendiente $2$ $y$- interceptar $5$, mientras que $x+1$ es una línea de pendiente $1$ $y$- interceptar $1$. Parcela estas funciones http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[{2x%2B5%2Cx%2B1}] y, a continuación, tomar absolutos valores, reflejando la negativa de los productos en el $x$-eje: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[{Abs[2x%2B5]%2CAbs[x%2B1]}%2C{x%2C0%2C-6}].

Ahora es claro que el conjunto solución es $\mathbb{R}\backslash ((-4,-2)\cup \{-1\})$.

Answer 5

Con la restricción es equivalente a que $x \ne -1$, $\; \left|\dfrac{2x + 5}{x + 1}\right| \geq 1$

$\dfrac{2x + 5}{x + 1} \ge 1 \qquad$ or $\qquad \dfrac{2x + 5}{x + 1} \le -1$

Si $ x + 1 \gt 0$, entonces

$\quad (2x + 5 \ge x + 1$ y % o $x > -1)\qquad$ $\qquad (2x + 5 \le -x - 1$y $x > -1)$

$\quad (x \ge -4$ y % o $x > -1)\qquad$ $\qquad (x \le -2$y $x > -1)$

$\quad x \in (-1, \infty) \cup \varnothing$

Si $ x + 1 \lt 0$, entonces

$\quad (2x + 5 \le x + 1$ y % o $x < -1)\qquad$ $\qquad (2x + 5 \ge -x - 1$y $x < -1)$

$\quad (x \le -4$ y % o $x < -1)\qquad$ $\qquad (x \ge -2$y $x < -1)$

$\quad x \in (-\infty, -4] \cup [-2, -1)$

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$x \in (-\infty, -4] \cup [-2, -1) \cup(-1, \infty)$