Borde de la teoría de FQHE - Incapaz de producir la función de Green de anticommutation de las relaciones y de la ecuación de movimiento?

Question

Estoy estudiando el borde de la teoría de las fracciones de efecto Hall cuántico (FQHE) y me he encontrado con una curiosa contradicción relativa a la bosonization procedimiento que soy incapaz de resolver. Ayuda!

En particular, consideran que el primer par de páginas de X. G. Wen papel de la "Teoría de la orilla de los estados en el Hall cuántico fraccionario efectos". Aquí, Wen define un fermionic campo $\Psi(x,t)$ en (1+1) dimensiones en términos de un bosonic campo $\phi(x,t)$

$$ \Psi(x,t) \propto e^{i\frac{1}{\nu}\phi(x,t)} .$$

El número de $\nu$ es la fracción de llenado de la FQHE, que vamos a establecer a $\nu=1/3$ por la simplicidad. El bosonic campo cumple algo extraño relaciones de conmutación

$$ [\phi(x,y),\phi(y,t)] = i\pi\nu\,\text{sgn}(x-y) $$

que son necesarias para hacer que $\Psi(x,t)$ anticommute como un auténtico fermión

$$ \lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = \delta(x-y) .$$

Por otra parte, la bosonic campo satisface la ecuación de movimiento

$$ (\partial_t-v\partial_x) \phi(x,t) = 0 .$$

Algunos operadores de álgebra muestra que $\Psi(x,t)$ es una solución para esta ecuación de movimiento. Sin embargo, a mí me parece que estos dos requisitos, anticommutation y la ecuación de movimiento, ya corrección de la función de Green de la fermión!

Sin embargo, Wen se dice que estos fermiones tienen la función de Green (ecuación (2.12) en el papel)

$$ G(x,t) = \langle T(\Psi^\dagger(x,t) \Psi(0)) \rangle = \exp[\langle\frac1{\nu^2}\phi(x,t)\phi(0)\rangle] \propto \frac{1}{(x-vt)^{1/\nu}} .$$

No entiendo cómo puede ser esto. Después de todo, desde la anticommutation relaciones y la ecuación de movimiento, podemos calcular la función de Green para ser

$$ G(x,t) \propto \frac{1}{x-vt} .$$

Para ello, definir los modos de Fourier $\Psi_k, \Psi^\dagger_k$, obtener la costumbre anticommutation relaciones de estos, resolver la ecuación de movimiento, y transformar de nuevo en el espacio real. El resultado será como se ha señalado, y el exponente $1/\nu$ será falta.

Cuando hice el exponente $1/\nu$ ir? Lo que está mal con el cálculo de la función de Green de la anticommutation relaciones y la ecuación de movimiento?

Tal vez hay algo en el interior de la $\delta(x-y)$ parte de la anticommutation relaciones? Si es así, ¿qué es exactamente? O tal vez algo sobre el estado del suelo? O algo sobre el bosonization procedimiento como un todo?

Answer 1

Aquí, me gustaría hacer algunos comentarios adicionales.

1) En la ecuación (2.11) del referido documento, la correlación de las bosón de campo de $\langle\phi(x,t)\phi(0)\rangle =-\nu \ln(x-vt)$. Esto nos permite calcular $G(x,t) = \langle T(\Psi^\dagger(x,t) \Psi(0)) \rangle = \exp[\langle\frac1{\nu^2}\phi(x,t)\phi(0)\rangle] \propto \frac{1}{(x-vt)^{1/\nu}}$.

2) no es correcto escribir $\lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = \delta(x-y)$, desde aquí $\Psi(x,t)$ no es el desnudo de electrones operador. $\Psi(x,t) = exp(i\phi(x,t)/\nu)$ es sólo la proyección de la desnudo de electrones operador en el bajo consumo de energía en el subespacio. Así tenemos $ \Psi(x,t) \Psi^\daga(y,t) = (-)^{1/\nu}\Psi^\daga(y,t) \Psi(x,t) =-\Psi^\daga(y,t) \Psi(x,t)$ when $1/\nu =$ entero impar. Pero $\lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = \delta(x-y)$ no es correcto.

Answer 2

Entiendo que desea calcular el fermión propagador en el operador de formalismo (en contraste con la ruta integral de formalismo, donde el el mismo resultado puede ser obtenido). A continuación, las siguientes José de la observación, la fermionization fórmula es correcta, es decir, da la canónica anti-relaciones de conmutación iff es normal ordenó:

$\psi(z) = :\exp(i \frac{1}{\nu}\phi(z)): = \exp(i \frac{1}{\nu}\phi_+(z)) \exp(i \frac{1}{\nu}\phi_-(z)) $

donde $\phi_+(z)$ ($\phi_-(z)$ ) contiene sólo la dependencia de la la creación (aniquilación) de componentes de campo.

El fermión propagador de la fórmula dada en la pregunta es una consecuencia de la fórmula del producto de dos normalmente ordenó exponenciales:

$:\exp(ia\phi(z_1))::\exp(ib\phi(z_2)): =:\exp(ia\phi(z_1)+ib\phi(z_2)):exp(-ab\langle \phi(z_1) \phi(z_2)\rangle)$.

Esta fórmula puede ser fácilmente verificado de forma independiente para cada modo de uso de los Baker–Campbell–Hausdorff fórmula

Ahora, el cálculo es con respecto a la bosón de vacío y este es el la razón de que el fermión propagador tiene el poder de la dependencia.