Cómo determinar si $\int_2^\infty x^2/e^x dx$ ¿converge sin computarlo?

Question

Cómo determinar si $\int_2^\infty x^2/e^x \; dx$ ¿converge sin computarlo? Estoy pensando en aplicar una prueba de comparación, pero no estoy seguro de cuál.

Answer 1

Por cada $x\geqslant2$ , $x^2\mathrm e^{-x}\leqslant16\mathrm e^{-2}\mathrm e^{-x/2}$ por lo que $$\int\limits_2^{+\infty}x^2\mathrm e^{-x}\mathrm dx\leqslant16\mathrm e^{-2}\int\limits_2^{+\infty}\mathrm e^{-x/2}\mathrm dx=16\mathrm e^{-2}\cdot2\mathrm e^{-1}\lt2. $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{x^2}{e^{x}} < \frac1{x^2}$ para $x>9$ . Por lo tanto, dividir la integral de $2$ a $9$ y luego de $9$ a $\infty$ y argumentar por qué ambos son finitos.

Answer 3

Pruebe a comparar con $e^{-tx}$ donde $0 < t < 1$ .

Answer 4

Mira la expansión en serie de potencias de $e^x$ . El $x^4$ El término es $\dfrac{x^4}{4!}$ Así que para los positivos $x$ tenemos $e^x>\frac{x^4}{4!}$ y por lo tanto $$\frac{x^2}{e^x} <\frac{4!}{x^2}.$$ Sabemos que $$\int_2^\infty \frac{dx}{x^2}$$ converge, y el $4!$ en la parte superior no hace ninguna diferencia. Obsérvese que la misma idea puede utilizarse mecánicamente para demostrar, por ejemplo, que $\displaystyle\int_2^\infty \frac{x^{2012}}{e^x}dx$ converge, ya que para un $x$ , $e^x>\frac{x^{2014}}{2014!}$ .