Si $f(z)$ es una función analítica en el plano complejo, $z=x+iy$, y $f(x)\neq 0$ % todo $x\in \mathbb R$, hace esto implica limita que $\frac{f'(x)}{f(x)}$ $\mathbb R$? es decir, $\big|\frac{f'(x)}{f(x)}\big|\leq C$, $C>0$.
Respuesta
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Andy Irving
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La respuesta es negativa.
Por ejemplo, $f(z)=\exp (z^2)$ es analítica y diferente de cero en todo el plano complejo, y se ha $f^\prime (z)=2z\ f(z)$. Por tanto, para $x\in \mathbb{R}$ consigue: $$\left| \frac{f^\prime (x)}{f(x)}\right| =2|x|$$ que no está delimitado desde la parte superior de la línea real.
Me gustaría remarcar que "tener un almacén de logarítmicas derivadas" implica un crecimiento exponencial/decay estimación de $f(x)$.
De hecho, asumir que usted puede encontrar una función $f(z)$ que satifies sus necesidades, es decir, que es analítica en todo el plano, su restricción a la línea real difiere de cero en todas partes y se ha acotado logarítmicas derivadas, es decir: $$\tag{BLD} \left| \frac{f^\prime (x)}{f(x)}\right| \leq C \qquad \text{, for }x\in \mathbb{R}$$
Supongamos por el momento también se $f(x)>0$ $x\in \mathbb{R}$ $C>0$ (para, si $C=0$ $f(x)$ es una constante); $f(x)$ satisface el diferencial de las desigualdades: $$-C\ f(x)\leq f^\prime (x)\leq C\ f(x)$$ que implica el crecimiento o la decadencia de las estimaciones: $$f(0)\ e^{-C|x|}\leq f(x)\leq f(0)\ e^{C|x|}\; .$$ Si $f(x)<0$, entonces las estimaciones anteriores de reescritura: $$f(0)\ e^{C|x|} \leq f(x)\leq f(0)\ e^{-C|x|}\; .$$ Por lo tanto, en cualquier caso, su función $f(x)$ satisface: $$\tag{GDE} |f(0)|\ e^{-C|x|}\leq |f(x)|\leq |f(0)|\ e^{C|x|}\; .$$
Neverthless, no sé si las estimaciones (GDE) son equivalentes a (BLD) en el caso de $f(x)$ es la restricción de una analítica de la función a la línea real.
Sin duda (GDE) no es equivalente a (BLD) para cualquier función real: de hecho, por ejemplo, la función de $f(x) = \exp (|x|\ \sin x^4)$ es de clase $C^1(\mathbb{R})$ (al menos) y satisface (GDE) con $C=1$, pero no stisfy (BLD) para: $$f^\prime (x) = \operatorname{sign}(x)\ f(x)\ (4\ x^4\ \cos x^4 + \sin x^4)$$ por lo tanto: $$\left| \frac{f^\prime (x)}{f(x)}\right| = 4\ x^4\ \cos x^4 + \sin x^4 $$ que no está delimitado.
