¿Cuál es la relación de mezcla (teoría de la medida) y un mapa que mezcla topológica?

Question

Mapa reputa topogical mezcla si dados dos conjuntos $A$ y $B$ entonces existe $N$ tales que para todos los $n>N$

$f^n(A) \cap B$ no está vacío

Por otra parte, una medida \mu se dice que se mezcla un mapa $f$ si

$lim_{n \to \infty} \mu (f^{-n}(A) \cap B) = \mu (A) \mu(B)$

para cualquier $A,B$ mensurable sistemas.

Answer 1

Deje $\mathcal{A}$ ser nuestra colección de bloques abiertos. Si $f$ es continua, podemos decir $f$ es topológicamente mezcla si para todos los no-vacía $A, B \in \mathcal{A}$, existe un $N$ tal que para todos los $n>N$,

$$f^n \cap B \ne \emptyset.$$

Deje $\mathcal{B}$ ser nuestra colección de conjuntos medibles. Si $f$ es medible, decimos medida $\mu$ es de la mezcla para $f$ si para todas las $A, B \in \mathcal{B}$,

$$\lim_{n \to \infty} \mu(f^{-n}(A) \cap B ) = \mu(A)\mu(B).$$

Reclamo: Si $f$ $\mathcal{A}$medible y hay algo de medida $\mu$ $\mathcal{A}$ que $\mu(A)>0$ para todos los no-vacía $A \in \mathcal{A}$ $\mu$ es de la mezcla para $f$, $f$ es continua y topológicamente mezcla de topología $\mathcal{A}$.

Prueba: Considerar que no está vacía de conjuntos de $A, B \in \mathcal{A}$. Por la propiedades de $\mu$, sabemos que $\mu(A)>0$$\mu(B)>0$.

Por lo tanto $\mu(A)\mu(B)>0$. Desde $\mu$ es de la mezcla para $f$, sabemos por la definición de los límites que existe una $N$ lo suficientemente grande, así que para todos los $n>N$,

$$\mu(f^{-n}(A)\cap B) > 0.$$

Esto significa que para todos los $n>N$, la $f^{-n}(A)\cap B$ no está vacía.

Espero que esto le da cierta intuición en cuanto a cómo son similares!