Pregunta sobre las raíces primitivas modulo p

Question

Sé que cada grupo de unidades de $\bmod p$ tiene un generador, en el hecho de $\varphi(p-1)$ de ellos.

Me encontré con un problema que pide demostrar que, para un generador, vamos a llamar a $a$ (pero véase más abajo), y $p$ un extraño prime:

$$a^{p-1} = 1 + kp$$

donde $\gcd(k,p) = 1$

Es la última parte que me está matando. Puedo ver que $p$ divide $a^{(p-1)/2} + 1$, ya que no se puede dividir $a^{(p-1)/2} - 1$ (esto estaría en contradicción con que $a$ es un generador), pero no tengo idea de cómo mostrar que $p^2$ no divide $a^{(p-1)/2} + 1$.

Alguna idea?

EDIT: La respuesta resultó ser simple (yo pensé que podría ser). Si resulta que k y p no son co-prime, sustituir una con un+p. Mis disculpas por afirmar que el problema de forma incorrecta, ya que el problema original preguntó a encontrar un tal que [a] es un generador.

Answer 1

Hay ejemplos de números primos impares $p$ y generadores $a$ para el grupo de unidades modulo $p$ tal que divide de $p^2$$a^{p-1}-1$, así que si el problema es que dicen que es, es pedir lo imposible. Véase, por ejemplo, http://mathoverflow.net/questions/27579/is-the-smallest-primitive-root-modulo-p-a-primitive-root-modulo-p2

Answer 2

Supongamos que $a^{(p-1)} = 1 + kp^2$ para algunos entero $k$. Eso implicaría que $a$ no genera el grupo multiplicativo de las unidades del modulo $p^2$. Pero es que realmente raro?

De hecho, existen enteros que son coprime a p, que no generan las unidades del modulo p², debido a la crianza para el p-1 potencia le da 1 (mod p².

Tenemos p=2p+1 por cada impares primos; y a tu pregunta original, a continuación, las cantidades a mostrar que -1 no tiene q^th raíz en los enteros mod p². Así que para p=3, por ejemplo, esto es obviamente falso; 8 es un "1^st raíz" de sí mismo, por lo que es un contraejemplo a la declaración original. Más generalmente, se puede encontrar contraejemplos mediante la búsqueda de los números enteros $0 < a < p^2$ tal que $a^q \equiv -1 \pmod{p^2}$.