Las aplicaciones de los "otros" de la definición de las Poleas

Question

En la mayoría de la literatura, cuando se trate de buscar la definición de poleas verá la definición habitual para presheaves como un functor de un espacio topológico (o de una topología de Grothendieck) a algunos de categoría y, a continuación, poleas requeriría de esta categoría para ser completa y tienes un poco de exactitud/ecualizador condición.

Pero, a continuación, para algunas categorías hay otra definición equivalente. Está definido un "protosheaf" (hay varios nombres para estas criaturas), un montón de espacio, una base del espacio, un local homeomorphism entre la gavilla espacio y la base en el espacio, incluso se ha definido un tallo.. pero esta definición no parece ser muy abstracto en la categoría de punto de vista teórico como solo puedo ver este tipo de definición de categorías muy específicas (por ejemplo, en la categoría de grupos o anillos, desea que la operación de suma se define en el producto de fibra de la gavilla espacio sobre la base de un espacio para ser continua). ¿Cuál es el equivalente de la categoría teórica sobre la forma de definir una gavilla de usar este método? En que casos no esta definición nos da una mayor ventaja psicológica de los mencionados? Personalmente, he encontrado la definición anterior más ventajoso en mi práctica, pero hay algunas prácticas matemáticas mediante el cual esta última definición se puede ser más útil.

Answer 1

Aquí es una elegante aplicación de las poleas visto como étalé espacios.

Considere la posibilidad de un complejo colector de $M$. Se viene automáticamente con un holomorphic local isomorfismo $\pi: \mathcal O_M \to M $ describe de la siguiente manera. Como un conjunto $\mathcal O_M$ es el conjunto de todos los gérmenes de holomorphic funciones en todos los puntos de $M$.El mapa de $\pi$ envía un germen hasta el punto en que se considera. Luego nos dotar $M$ con la siguiente topología. Para un conjunto conectado a $U\subset M$ y un holomorphic función de $f$$U$, denotan por $[U,f]\subset\mathcal O_M$ el conjunto de todos los gérmenes $f_a$$a\in U$. Estos $[U,f]$ se decretó un abrir base para la topología de $M$.Entonces existe una única estructura compleja en $\mathcal O_M$ tal que $\pi: \mathcal O_M \to M $ se convierte en un HOLOMORPHIC local de isomorfismo. En $\mathcal O_M$ vive universal tautológica holomorphic función $F:\mathcal O_M \to \mathbb C: f_a \to f_a (a)$. (Tenga en cuenta que $\mathcal O_M$ es enorme, desconecta, pero Hausdorff).

Y ahora para el remate : dado un holomorphic función de $f$$U\subset M$, tomar el componente conectado a$Riem(U)$$[U,f]$$\mathcal O_M$. Junto con la restricción $F|Riem(U)$, esta es la máxima holomorphic extensión de $f$: un concepto sofisticado admirablemente manejado por los ligamentos como étalé espacios (El colector $Riem(U)$ es llamado el dominio de la existencia de $f$.)

Incluso en la dimensión uno y para $M=\mathbb C$ esto es bastante potente: se obtiene la superficie de Riemann $(Riem(U), F|Riem(U))$ de cualquier holomorphic función de $f$ en un dominio arbitrario $U\subset \mathbb C$ sin cortar, pegar, continuar por los caminos,... de que libros clásicos de análisis complejos que son tan aficionados.

Una referencia para este podría ser Fritzsche-Grauert del libro "De Holomorphic Funciones a los Complejos Colectores", Capítulo II, $$8,9 (Springer, GTM 213). El libro de Narasimhan y Nievergelt que Charles de manera pertinente y rápidamente evocado parece manejar la dimensión de uno de los casos (que en realidad es suficiente para transmitir la gavilla idea).

Por último, es de destacar que el EGA-definición de estilo que Hartshorne da por la estructura de la gavilla $\mathcal O$de los afín esquema de $Spec(A)$ (página 70 del LIBRO) es exactamente análoga a la descripción anterior: la étalé espacio es distinto de la unión de todos los locales de los anillos de $A_P$ $P\in A$ $\mathcal O(U)$ es el conjunto de continuo mapas de $U$ en el étalé espacio; Sólo, Hartshorne no dice lo que la topología es en el étalé espacio y la continuidad de la condición es reemplazado por un grupo ad hoc de la descripción en términos de los elementos de los anillos de fracciones $A_f$.

Answer 2

La "gavilla espacio = espace étalé" definición es mejor (opiniones pueden variar) de la definición de la especificación de secciones abiertas establece en al menos los siguientes casos:

1. Trabajando con constante o casi constante poleas, tales como edificable poleas.
2. Para definir la restricción $F|_S$ a un arbitrarios, no necesariamente abierta, subconjunto $S\subset X$, y, en particular, para entender el conjunto de secciones $F(S)$ sobre un no-abrir subconjunto.
3. Para definir el pullback $f^{-1}F$.
4. Para demostrar que $f_*$ $f^{-1}$ son adjunto.

Ya que las dos definiciones son equivalentes, a todos estos se puede lograr mediante el uso de sólo abrir sets, pero el uso de la gavilla espacio da una mejor imagen geométrica de la situación.

Estos ejemplos se aplican a las poleas sobre espacios topológicos, y no necesariamente a las otras categorías que se mencionan.

Answer 3

No es una generalización de un presheaf llamado "fibrado categoría" o un "grothendieck fibration". Esto es análogo a la etale de construcción de espacio para presheaves en S(X). Cada presheaf en el sentido de una presheaf tomando valores en Juegos (la mayoría de las otras construcciones vienen de enriquecer presheaves de conjuntos) se pueden identificar con una muy simple del tipo de fibrado categoría. En general, fibrado categorías con un fijo de la escisión (algo así como un esqueleto de pullbacks) definir un contravariante pseudofunctor tomando valores en el 2-categoría de categorías. Es sólo un pseudofunctor porque la composición no es, en general, estrictamente asociativa, meramente asociativa hasta un único isomorfismo. Usted debe comprobar fuera de Vistoli del libro en el descenso, fibrado categorías, y grothendieck topologías de aquí: http://homepage.sns.it/vistoli/descent.pdf .

Pero para responder a tu pregunta, para generalizar la etale espacio para poleas, tendrás que introducir la idea de descenso, 1-pilas, a continuación, poleas degenerado pilas, es decir, 0-pilas. Si usted está tratando de lidiar con las poleas sin recurrir demasiado a la categoría de teoría, usted tiene que recordar que presheaves de abelian grupos, por ejemplo, son presheaves de abelian grupo de objetos en grupos. Todas las categorías que hemos mencionado son monádicos con respecto a los desmemoriados functor contigüidad con los juegos, así que siempre puede tomar objetos de ese tipo en la categoría de conjuntos. Es la razón por la que un "presheaf de espacios topológicos" en realidad no tiene mucho sentido, ya que la parte Superior no es algebraico sobre los Conjuntos. Así que no hay una buena manera de definir las poleas toma los valores de una categoría arbitraria sin aumentar sustancialmente la generalidad.

Si usted no está familiarizado con lo que yo estoy hablando específicamente, Mac Lane "gavillas en la geometría y la lógica" tiene una explicación muy detallada de cómo el etale espacio funciona, y cómo podemos producir las poleas que toma valores en el algebraicas categorías, pero no arbitrario categorías. También se tiene muy en profundidad de la construcción de la etale espacio para presheaves de conjuntos y también demuestra la equivalencia de categorías entre la subcategoría de las poleas de los conjuntos y el pleno de la subcategoría de "paquetes" (Mac Lane terminología aquí, así que no se confunda cuando él llama a la etale espacio de la etale bundle) llamado etale espacios.

Answer 4

Mi entendimiento es que lo que estamos hablando es de la espace etale (no estoy seguro donde los acentos ir con la guardia baja) de la gavilla, y fue la definición original. Demostrando que la gavilla de las secciones de este espacio es un ejercicio de Hartshorne. El único lugar que he visto que la definición que se utiliza en serio es en este complejo análisis de los libro de Narasimhan y Nievergelt. A pesar de que el uso de la espace etale definición exclusivamente, y para casi todo el libro para manejar los gérmenes de holomorphic funciones.

Answer 5

Hay una importante aplicación de la "otra definición" en la aritmética geometría: se utiliza para dar un canónica de la acción de la frobenius en gavilla, definida sobre un campo finito:

Hay una equivalencia de categorías entre edificable poleas ("habitual gavillas") en una variedad $X$ y algebraicas, espacios etale $X$ ("otras gavillas").

Ahora uno puede usar el frobenius acción sobre los espacios y llevarlo de vuelta a través de la equivalencia en una acción en las poleas.