Problema de la topología, compacticidad

Question

Cómo resolver lo siguiente:

Que $X$ ser un localmente compacto, espacio de Hausdorff de $Y$ y $f : X\rightarrow Y$ continua abierto surjection. Probar que para cada compacto $K\subset Y$ existe compacto conjunto de $C\subset X$ tal que $f(C)=K$.

Explicaciones detalladas son bienvenidas.

Answer 1

Podemos tomar la restricción$f ⊇ f': X' = f^{-1}[K] \to K$. Entonces$X'$ es localmente compacto y$f'$ sigue siendo surjection abierto continuo. Para cada$x ∈ X'$ take$U_x$ su nbhd compacto. Dado que$K$ es compacto, alguna colección finita$\{f'[U_x]: x ∈ F\}$ cubre$K$. Por lo tanto, es suficiente tener$C = \bigcup\{U_x: x ∈ F\}$.

Answer 2

Aquí es lo que viene a la mente, aunque soy un poco desconfiado de mi prueba.

Supongamos que tenemos un conjunto compacto $K \subset Y$. Para cada $y \in K$, podemos seleccionar un $x \in f^{-1}(y)$, llama a este elemento $x(y)$. Definir $J = \bigcup_{y \in K}x(y)$. Tenga en cuenta que $f(J) = K$.

Yo reclamo que $J$ es compacto.

Deje $\mathcal C = \{U_\alpha\}$ más de indexación $\alpha$ ser una cubierta abierta de a $J$. Tomamos nota de que para cada $U \in \mathcal C$, $f(U)$ es un conjunto abierto. Por lo tanto, la colección de $\{f(U_\alpha)\}$ es una cubierta abierta de a $K$. Debido a la compacidad de $K$, podemos seleccionar un número finito de subcover $\{f(U_1),\dots,f(U_n)\}$. De ello se desprende que $\{U_1, \dots,U_n\}$ es una cubierta abierta de a $J$ que es finito y un subcover de $\mathcal C$.