De Marsden Elemental del Análisis Clásico:
Teorema 8
Deje $f\colon U \subset \Bbb R^n \to \Bbb R$ $g\colon U\subset \Bbb R^n \to R$ dará $C^1$ funciones. Vamos $x_0\in U$, $g(x_0)=c_0$ y deje $S = g^{-1}(c_0)$ el nivel fijado para $g$ con valor de $c_0$. Suponga $\nabla g(x_0)\ne 0$. Si $f\restriction S$ tiene un máximo o mínimo en$x$, entonces existe un número real $\lambda$ tal que $$\nabla f(x_0)=\lambda \nabla g(x_0)$$
Prueba
La única cosa que no completa sobre el croquis de la prueba en la Sección 7.7 es que debemos saber que si $v\perp \nabla g(x_0)$ $v=c'(0)$ $C^1$ curva de $c(t)$$S$,$c(0) = x_0$.
Esto puede ser establecido de la siguiente manera. Por el Teorema 3 hay un cambio de coordenadas $h$ tal que $g(h(x_1,\dots,x_n)) = x_n$. Por lo tanto $h^{-1} (S)$ es el plano de coordenadas $x_n = c_0$. Deje $w=Dh^{-1}(x_0)\cdot v$. Pretendemos que la última coordenada de $w$ es cero, es decir, $w$ se encuentra en el plano de la $x_n = c_0$. De hecho, vamos a $e_n = (0,0,\dots,1)$. Demostraremos que los $\langle w, e_n \rangle = 0$. Pero a partir de la regla de la cadena, $g(h(x_1,\dots,x_n))=x_n$ implica $$\langle\nabla g(x_0),Dh(y_0) \cdot w\rangle=\langle w,e_n\rangle$$ where $h(y_0)=x_0$. But the left side is $\langle\nabla g(x_0),v\rangle=0$. Now let $c(t)=h(y_0+tw)$. This lies in $S$, $c(0)=x_0$, and from the chain rule, $c'(0)=v$.
La prueba puede realizarse como en el texto. $\blacksquare$
Dos puntos que estoy teniendo problemas con:
(1) En la séptima línea de la última, ¿por qué $w$'s última coordenada es cero implica que $w$ se encuentra en el plano de la $x_n=c_0$? Yo sólo ingenuamente (erróneamente) a ver que lo anterior implica que $w$ se encuentra en el plano de la $x_n=0$.
(2) ¿Cómo es la regla de la cadena que se utiliza para obtener la ecuación en la cuarta línea de la última?
