Desigualdad de Hoeffding adaptada a variables aleatorias discretas

Question

Dado $n$ (de valor real) variables aleatorias $X_1, X_2, ..., X_n \in [0, B]$ se puede derivar de La desigualdad de Hoeffding eso: $$\mathbb{P}^n\left[ \bar{X} - \mathbb{E}_n[ \bar{X} ] \geq t \right] \leq \exp \left( - \frac{2 n t^2}{B^2} \right) $$ donde $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ y $\mathbb{P}^n$ es la medida del producto $\mathbb{P} \times \mathbb{P} \times \ldots \mathbb{P}$ ( $n$ veces).

¿Existe un límite más estricto si tenemos variables aleatorias (de valor entero) $X_1, X_2, ..., X_n \in \{0, 1, ..., B-1, B\}$ ? ¿Qué desigualdades similares existen para variables aleatorias discretas y acotadas?

Answer 1

Me temo que esto es lo mejor que se puede hacer. De hecho, si lees el artículo que enlazas, ¡el primer ejemplo del uso de la desigualdad de Hoeffding es para variables aleatorias de Bernoulli! Más formalmente, puedes aproximar las VR continuas por las discretas, así que deberías tener más o menos el mismo comportamiento.