Cada bilineal simétrica forma se puede expresar como una matriz simétrica $B$, de modo que $B(x,y)=xBy^T$ con la costumbre de la multiplicación de la matriz. Estoy abusando de la notación mediante el uso de $B$ por tanto $B(-,-)$ y la matriz $B$, pero espero que no sea demasiado molesto.
Si desea que el estándar de base para ser "ortonormales" en el sentido de que los elementos son pares ortogonal con $B(e_i,e_i)=1$, entonces para que eso suceda, sería necesario que sucedan dos cosas.
En primer lugar $B(e_i,e_i)=e_iBe_i^T=1$. Si usted mira lo que esto significa, dice que los elementos de la diagonal de la matriz $B$ son todos 1.
En segundo lugar, $B(e_i,e_j)=e_iBe_j^T=0$$i\neq j$. Si usted mira lo que esto significa, dice que $B_{ij}=0$ todos los $i\neq j$. Lo que significa que $B$ tiene que ser la matriz identidad, y la forma bilineal es de hecho el producto escalar usual: $xI_ny^T=xy^T$.
Usted podría estar interesado en saber que cada bilineal simétrica forma es equivalente a una matriz diagonal cuya diagonal entradas puede ser cualquier mezcla de elementos de $\{0,-1,1\}$ que te gusta. Esto incluye formas bilineales $A$ que $A(b,b)=-1$ para algunos la base de los elementos, y $A(b,b)=0$ para algunos la base de los elementos.
Estos son un poco diferente de la habitual punto del producto debido a que no están positiva definida, y tienen con los vectores "de longitud cero," pero puedo asegurar que ellos tienen sus usos. Algunos ejemplos son las formas bilineales con $(1,-1,-1,-1)$ o $(-1,1,1,1)$ en la diagonal, que puede ser utilizado en $\Bbb R^4$ a un modelo de espacio-tiempo.
