Demostrando que $\frac{\phi^{400}+1}{\phi^{200}}$ es un entero.

Question

¿Cómo se demuestra que $\dfrac{\phi^{400}+1}{\phi^{200}}$ es un número entero, donde $\phi$ es la proporción áurea?

Esto apareció en respuesta a una pregunta que hice anteriormente, pero no veo cómo demostrarlo...

Answer 1

Podemos demostrar por inducción que

Si $x+\dfrac1x$ es un entero, $x^n+\dfrac1{x^n}$ será un número entero

$$\left(x^n+\frac1{x^n}\right)\left(x+\frac1x\right)=x^{n+1}+\frac1{x^{n+1}}+x^{n-1}+\frac1{x^{n-1}}$ $

$$\iff x^{n+1}+\frac1{x^{n+1}}=\left(x^n+\frac1{x^n}\right)\left(x+\frac1x\right)-\left(x^{n-1}+\frac1{x^{n-1}}\right)$$

La base de los casos ser

$n=1\implies x^2+\dfrac1{x^2}=\left(x+\dfrac1x\right)^2-2$ y
$x^3+\dfrac1{x^3}=\left(x+\dfrac1x\right)^3-3\left(x+\dfrac1x\right)$

o $n=2\implies x^3+\dfrac1{x^3}=\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)\left(x+\dfrac1x\right)-\left(x^1+\dfrac1{x^1}\right)$

Como Proporción áureasatisface a $(\phi)$ $x^2-x-1=0$

tenemos $x^2-1=x\implies x-\dfrac1x=1\implies x^2+\dfrac1{x^2}=\left(x-\dfrac1x\right)^2+2=1^2+2$

Aquí $n=100$

Answer 2

Tenemos $\phi^2=\phi+1$. Podemos utilizar esto para iterar poderes de $\phi$. Tenemos $\phi^3=2\phi+1$, $\phi^4=3\phi+2$, etcetera. Entonces obtenemos $$ \frac{\phi^{400}+1}{\phi^{200}}=627376215338105766356982006981782561278127. $$ Este es un número compuesto de squarefree.

Answer 3

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