Digamos que tengo una integral de contorno en un no-cerrada contorno con el punto de partida $z_0$ y punto final $z_1$. Me permite hacer una sustitución de este tipo? Y bajo qué supuestos?
$$\displaystyle \int_{z_0}^{z_1} f (z) \, \mathrm d z = \int_{u^{-1}(z_0)}^{u^{-1}(z_1)} f (u (z))u'(z) \, \mathrm d u $$
Por ejemplo,
$$\int_\epsilon^T t^{1/2 + i}e^{(-4-i)t}\, \mathrm dt \stackrel{?}{\stackrel{u \leftrightarrow (4+i)t}{\longleftrightarrow} }\int_{4\epsilon+i\epsilon}^{4T+iT}\left({\frac{u}{4+i}}\right)^{1/2 +i}e^{-u}\left({\frac{1}{4+i}}\right)\, \mathrm du$$
donde $0 < \epsilon < T \in \mathbb R$.
Y el integrando es un contorno, es un buen mapa de un intervalo en el plano, de modo que la integral es una integral de contorno con la parametrización $t: t \in [\epsilon..T]$, por definición. Al menos, estoy bastante seguro de que coincide con la definición de una integral de contorno con una parametrización. Yo incluso gráficamente:
Mis pensamientos:
Ya me gustaría desea la sustitución para mover el contorno en algún otro lugar sin cambiar el valor de la integral, a continuación, $u$ tendría que ser un homotopy; por lo tanto una condición necesaria sería que el antiguo y el nuevo contorno de cada una, simplemente conectado dominio. Supongo $u$ podría tener que ser analítico y bijective así.