¿Contorno de integración por sustitución?

Question

Digamos que tengo una integral de contorno en un no-cerrada contorno con el punto de partida $z_0$ y punto final $z_1$. Me permite hacer una sustitución de este tipo? Y bajo qué supuestos?

$$\displaystyle \int_{z_0}^{z_1} f (z) \, \mathrm d z = \int_{u^{-1}(z_0)}^{u^{-1}(z_1)} f (u (z))u'(z) \, \mathrm d u$$

Por ejemplo,

$$\int_\epsilon^T t^{1/2 + i}e^{(-4-i)t}\, \mathrm dt \stackrel{?}{\stackrel{u \leftrightarrow (4+i)t}{\longleftrightarrow} }\int_{4\epsilon+i\epsilon}^{4T+iT}\left({\frac{u}{4+i}}\right)^{1/2 +i}e^{-u}\left({\frac{1}{4+i}}\right)\, \mathrm du$$

donde $0 < \epsilon < T \in \mathbb R$.

Y el integrando es un contorno, es un buen mapa de un intervalo en el plano, de modo que la integral es una integral de contorno con la parametrización $t: t \in [\epsilon..T]$, por definición. Al menos, estoy bastante seguro de que coincide con la definición de una integral de contorno con una parametrización. Yo incluso gráficamente:

Mis pensamientos:

Ya me gustaría desea la sustitución para mover el contorno en algún otro lugar sin cambiar el valor de la integral, a continuación, $u$ tendría que ser un homotopy; por lo tanto una condición necesaria sería que el antiguo y el nuevo contorno de cada una, simplemente conectado dominio. Supongo $u$ podría tener que ser analítico y bijective así.

Answer 1

Supongamos $f$ es analítica en el simplemente se conecta la región de $V$ $\gamma$ es un contorno en $V$ $z_0$ $z_1.$Deje $U$ ser una región (no necesariamente simplemente conectado), y asumir la $u:U \to V$ es una analítica de la función cuyo rango contiene $\{z_0,z_1\}.$ Elija $w_0,w_1\in U$ tal que $u(w_0) =z_0, u(w_1) =z_1.$ Deje $\delta$ ser un contorno en $U$ $w_0$ $w_1.$

$$\tag 1 \int_\gamma f(z)\,dz = \int_\delta f(u(w))u'(w)\,dw.$$

Prueba: Debido a $V$ es de $f$ tiene una antiderivada $F$ $V.$ Sólo desde el teorema fundamental del cálculo (básica de una variable real de cálculo que se quiere decir aquí), el lado izquierdo de $(1)$ es igual a $F(z_1)-F(z_0).$ Pero note $f(u(w))u'(w)$ también tiene una antiderivada–en $U$–a saber,$F(u(w)).$, Que se desprende de la regla de la cadena para funciones analíticas. Por lo tanto, de nuevo por la FTC, el lado derecho de la $(1)$ es igual a $F(u(w_1)) - F(u(w_0)) = F(z_1)-F(z_0)$ y hemos terminado.

Si nos fijamos en el ejemplo, el integrando $z^{1/2+i}e^{(-4-i)z}$ es analítica en el abrir de la mitad derecha del plano, simplemente se conecta la región. El mapa de $u(w)= w/(4+i),$ que es todo, tarda $w_0 = (4+i)\epsilon, w_1 = (4+i)T$ $\epsilon,T$ $(1)$garantiza su sustitución es válida (como se haría con cualquier analítica de sustitución de respetar los puntos finales).

No estoy seguro de lo que su párrafo "Y el integrando es un contorno de ..." es todo acerca de. El rango de $f\circ \gamma$ no es el tema aquí, al menos tal y como yo lo veo.