Cómo calcular el pullback de $(2xy+x^{2}+1)dx+(x^{2}-y)dy$ a lo largo de $f(u,v,w)=(u-v,v^{2}-w)$ ?

Question

Estoy tratando de hacer mi primer pull-back de una forma diferencial. Sé que $\omega=(2xy+x^{2}+1)dx+(x^{2}-y)dy$ es una forma diferencial en $\mathbb{R}^{2}$ .

Tengo $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}$ que es $$f(u,v,w)=(u-v,v^{2}-w)$$ y tengo que calcular el retroceso. Me dijeron que por definición $$(f^{*}\omega)(X) = \omega(f_{*}(X)),$$ y así he calculado $$f_{*}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 2v & 1 \end{pmatrix}$$ Pero entonces no sé realmente cómo proceder. ¿Debo tomar un vector general y calcular la forma, debo sustituir $x,y$ con $u,v,w$ ? ¿Tiene una receta general para proceder?

Answer 1

$\newcommand{\Blank}{\underline{\qquad}}$ (Nota de buen gusto: No es el primer pullback que calculas. Has estado calculando pullbacks desde que aprendiste la regla de la cadena y el método de sustitución).

Lo más fácil es empezar por retroceder el reloj hasta 1850, más o menos. Tienes \begin {align*} x &= u - v, \\ y &= v^{2} - w, \end {align*} por lo que la regla de la cadena da \begin {align*} dx &= \Blank\ , du + \Blank\ , dv + \Blank\ , dw, \\ dy &= \Blank\ , du + \Blank\ , dv + \Blank\ , dw. \end {align*} Ahora, para expresar esto en términos modernos, sustituya el $1$ -forma a la izquierda por medio de pullbacks: $dx \to f^{*}dx$ etc.

Answer 2

Lo bueno de los formularios es que intuitivamente se hace lo correcto, es decir: sólo hay que enchufar $x=u-v$ etc., como ya escribió Andrew.

Para ver la conexión con las definiciones formales, observe que la derivada exterior y los pullbacks se conmutan y por lo tanto $f^*dx=d(f^*x)=d(x\circ f)=d(u-v)$ . Además, los pullbacks respetan los productos de la cuña, por lo que, por ejemplo $$f^*(x^2dx)=f^*(x^2 \wedge dx)=(f^*x^2) \wedge (f^*dx)=(u-v)^2d(u-v)$$