¿Podría probarse la hipótesis de Riemann con la desigualdad de Robin y que un contraejemplo a la hipótesis de Riemann no puede tener un divisor que sea un número primo para el exponente 5, de acuerdo con algunas teorías de Robin? También creo que se puede probar que el producto de dos números A y B que son contraejemplos para RH es también un contraejemplo. Anote un número$n$ es un contraejemplo para RH si$\sigma(n)\gt e^{\gamma}n\ln\ln n$ (perdonar notación).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Robin desigualdad se ha demostrado para ser cierto si la Hipótesis de Riemann tiene, por lo desmienten Robin desigualdad sería una manera de refutar la Hipótesis de Riemann. Sin embargo, la desigualdad ha sido de alrededor durante mucho tiempo (Ramanujan consiguió el resultado en 1915), este es, probablemente, tan duro como cualquier otra forma de resolver la Hipótesis de Riemann.
No estoy muy seguro de lo que significan los números de la que son ejemplos de lo contrario a la Hipótesis de Riemann. La Hipótesis es de aproximadamente el complejo de ceros de una función compleja (la demanda es que los ceros con parte real positiva, todos tienen parte real de 1/2).
[Añade más adelante] Sí, Robin demostrado en 1984 que la desigualdad de la tenencia para todos los $n>5040$ es equivalente a la de RH. Por lo que en principio puede refutar RH por encontrar un entero único que falla Robin de la desigualdad. Pero treinta años después, nadie ha logrado por esa ruta.
[Añade más adelante] @user128932 lo Siento, no pude responder a su punto acerca de la $a,b$. Así que supongamos $a,b$ (tanto en $>5040$) no se pudo satisfacer Robin de la desigualdad, de manera que $\sigma(a)>e^\gamma a \ln\ln a$$\sigma(b)>e^\gamma b \ln\ln b$, ¿eso quiere decir $ab$ también falla en satisfacer?
$\sigma(n)$ es una "función multiplicativa" que significa (en este contexto) que $\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$ que $m,n$ son relativamente primos. Así que si $a,b$ eran relativamente primer excepciones, tendríamos $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)>e^{2\gamma}(ab)(\ln\ln a)(\ln\ln b)$.
Para $ab$ a ser otra excepción queremos $\sigma(ab)>e^\gamma ab\ln\ln(ab)$. Ahora $e^\gamma>1.78$, lo $e^{2\gamma}>1.78e^\gamma$, lo cual es útil. Tenemos $\ln(a)\ln(b)>\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$ grandes $a,b$, que también es útil, por ejemplo,$\ln(5051)\ln(5059)=72.73>17.06=\ln(5051\cdot5059)$. Por supuesto, este efecto se reduce para $\ln\ln$, por ejemplo,$(\ln\ln 5051)(\ln\ln 5059)=4.59>2.84=\ln\ln(5051\cdot5059)$. Pero $(\ln\ln a)(\ln\ln b)>\ln\ln(ab)$ obviamente tiene, en general, lo suficientemente grande $a,b$ (y tal vez de todos los $a,b$ no he pensado realmente acerca de él).
Así que sí, en el $a,b$ relativamente primer caso parece como si $ab$ sería otra excepción. En el caso de que ellos no son relativamente primos parece más dudoso, por ejemplo,$\sigma(16)=5<8=\sigma(2)\sigma(8)$.
