Encontrar límite de$a_n=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}$

Question

Límite de búsqueda de$a_n=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}$

Sé que tengo que usar el teorema de Stolz Cesaro, pero el problema es que necesito segunda secuencia.

Answer 1

El límite es de $0$:

$\displaystyle\frac1{(n+k)^2}\le\frac1{n^2}$ $1\le k\le n$ , lo $\displaystyle 0\le a_n\le \frac{n}{n^2}=\frac1n\to0$.

Permítanme añadir dos observaciones: en Primer lugar, $\sum_n a_n$ diverge, porque si el hecho de $a_n$ crece como $1/n$: $\displaystyle\frac1{(n+k)^2}\ge\frac1{(2n)^2}$ para $1\le k\le n$, lo $\displaystyle a_n\ge \frac{n}{(2n)^2}=\frac1{4n}$.

Segundo, lo anterior sugiere para el estudio de $\lim_{n\to\infty}n a_n$. Reconociendo esto como una suma de Riemann es la clave: tenga en cuenta que $$ n\sum_{k=1}^n\frac1{(n+k)^2}=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{(1+k/n)^2}, $$ lo que debemos reconocer como una suma de Riemann para $\displaystyle \int_0^1\frac1{(1+x)^2}\,dx$, de modo que las dos expresiones coinciden al $n\to\infty$, y vemos que $$\lim_{n\to\infty}na_n=\int_0^1\frac1{(1+x)^2}\,dx=\left.\frac{-1}{1+x}\right|_0^1=\frac12. $$ Para ilustrar la tasa de convergencia, Sage evalúa $na_n$ al$n=200$$0.498128645813151$; al$n=2000$$0.499812536458331$; y al$n=20000$$0.499981250364583$.

Answer 2

INSINUACIÓN:

ps

Poner$$S=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{1\le r\le 2n}\frac1{r^2}-\sum_{1\le r\le n}\frac1{r^2}$ en la primera suma$2n=m$ $

Ahora usa esto

Answer 3

ps

Ahora, aplique SC a

ps

Pero esto es una exageración , es fácil ver que la parte superior es$$a_n=\frac{1}{n^2}\left( \frac{1}{(1+\frac1n)^2}+\frac{1}{(1+\frac2n)^2}+...+\frac{1}{(1+\frac{n}n)^2} \right)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{n}\left( \frac{1}{(1+\frac1n)^2}+\frac{1}{(1+\frac2n)^2}+...+\frac{1}{(1+\frac{n}n)^2} \right)\right]$.

PD

$$a_n=\frac{ \left( \frac{1}{(1+\frac1n)^2}+\frac{1}{(1+\frac2n)^2}+...+\frac{1}{(1+\frac{n}n)^2} \right) }{n^2}$ $ Es una suma de Riemann, así convergente, y$\leq 1+1+1..+1=n$ converge a$$\frac{1}{n}\left( \frac{1}{(1+\frac1n)^2}+\frac{1}{(1+\frac2n)^2}+...+\frac{1}{(1+\frac{n}n)^2} \right)$.

Alternativamente, si no conoce integrales, aplique SC a

ps

Answer 4

Usted puede resolver por otro método. Esto debe ser interesante para usted.

Sugerencia:$lt_{n \rightarrow \infty} $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n})$$ = $ donde$\int_0^1 f(x) dx$