$f$ Mensurable con$f=g$ ae entonces$g$ mensurable

Question

¿Cómo puedo probar esta proposición de Royden del Análisis Real:

Si $\mu$ es una medida completa y $f$ es una función medible, entonces $f=g$ en casi todas partes implica $g$ es medible.

En la demostración de esta proposición, lo que difiere de la prueba de una proposición a partir de los primeros capítulos, indicando:

Si $f$ es una función medible $f=g$ en casi todas partes, a continuación, $g$ es medible.

En particular, lo que se ha modificado en la siguiente prueba:

Tome $E=\lbrace x \in X | f(x) \neq g(x) \rbrace,$ que es medible y tiene una medida de $0$. Para un conjunto medible $A$ en el rango de $g$, se demuestra que el conjunto de $Y=g^{-1}(A)$ es medible. Ahora, $Y \cap E$ se puede medir con la medida $0$. Desde $Y \setminus E = f^{-1}(A) \setminus E$ es una diferencia de dos conjuntos medibles, hemos terminado.

Answer 1

Para fijar la notación: Supongamos que $(X,\mathcal{A},\mu)$ es una medida completa del espacio, $(Y,\mathcal{B})$ es una medida de espacio y que $f:X \to Y$ es medible. Tenemos que demostrar que

$$g^{-1}(B) \in \mathcal{A}$$

para todos los $B \in \mathcal{B}$. Ahora

$$\begin{align*} g^{-1}(B) &= \{x; g(x) \in B \} \\ &= \underbrace{\{x; g(x) \in B, f(x)=g(x)\}}_{=:A} \cup \underbrace{\{x; g(x) \in B, g(x) \neq f(x)\}}_{=:N}. \end{align*}$$

Por definición, tenemos

$$N \subseteq \{x; f(x) \neq g(x)\}.$$

Desde $f=g$ en casi todas partes, esto demuestra que $N$ es un subconjunto de un nullset; por lo tanto medible como $\mu$ es completa. Por otra parte,

$$\begin{align*} A &= \{x; g(x) \in B, f(x)=g(x)\} \\ &= \{x; f(x) \in B, f(x)=g(x)\} \\ &= \{x; f(x) \in B\} \cap \{x; f(x)=g(x)\} \end{align*}$$

es medible como la intersección de dos conjuntos medibles (el primer set en el lado derecho es medible porque $f$ es medible y para el segundo se nota que

$$\{x; f(x)=g(x)\} = X \setminus \{x; f(x) \neq g(x)\}$$

es el complemento de un conjunto medible y por lo tanto medibles.)

Answer 2

Por favor, comprobar las hipótesis de la proposición de los primeros capítulos. Cuando usted está diciendo que el $Y\cap E$ es medible - ¿cómo sabes esto? Usted no tiene que $Y$ se puede medir, hay que probarlo. Pero en el caso de que la medida es completa, por la definición de integridad si se sigue que $$ Y\cap E \subconjunto de E\text{ y }\mu(E) = 0\quad \Rightarrow \quad Y\cap E \text{ es medible}. $$ Sin integridad sólo se puede concluir que $Y\cap E$ $\mu$- null que no implica la capacidad de medición en general.