Derivado direccional

Question

El gobernador Ralph tiene problemas en el lado brillante de Mercurio. La temperatura en la pared del vaso, cuando está en la posición $(x, y, z)$ está dado por $T(x, y, z)=e^{-x^2-2y^2-3z^2}$, donde $x$, $y$ y $z$ se miden en metros. Ahora se encuentra en $(1,1,1)$.

1. ¿En qué dirección debe moverse para bajar la temperatura lo más rápidamente posible?
2. Si el buque está viajando con una velocidad de $e^8$ por segundo, ¿cuánto tiempo tardará la temperatura disminuirse si se mueve en esa dirección?
3. Por desgracia, el metal de la pared se romperá si se enfría con ritmo mayor que el de $\sqrt{14}e^2$ grados por segundo. Describir el conjunto de posibles direcciones donde se pueda mover a reducir la temperatura a una velocidad no mayor que la permisible.

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He hecho lo siguiente:

1. La dirección a la que el buque debe moverse para que la temperatura disminuye tan rápido como sea posible es dada por :

   $$-\nabla T(1, 1, 1)$$

   Es esto correcto??

   Así, tenemos las siguientes:

   $$\nabla T(x, y, z)=(-2x e^{-x^2-2y^2-3z^2}, -4ye^{-x^2-2y^2-3z^2}, -6ze^{-x^2-2y^2-3z^2}) \\ \Rightarrow -\nabla T(1, 1, 1)=(2e^{-6}, 4e^{-6}, 6e^{-6})$$

   Es esto correcto??

2. Estamos buscando la tasa de cambio en la dirección encontramos a la pregunta $1$ ??

   Por lo tanto, es como sigue?? $$grad f \cdot \overrightarrow{v}$$ where $\overline{v}$ is the unit vector of the qquestion $1$ ?? But how can we use the fact that the velocity is $e^8$ ??

3. Me podrían dar algunas pistas de lo que podemos hacer ??

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EDITAR:

En la pregunta $3$ estamos buscando las direcciones $\overrightarrow{v}$ tal que $$\nabla T \cdot \overrightarrow{v}\leq \sqrt{14}e^2$$ ??

Answer 1

1. Es correcto.

2. Sí, debería ser$\nabla f \cdot \vec{v}=||\nabla f|| ||\vec{v}||\cos\theta$ donde$\theta=0$, y$||\vec{v}||=e^8$.

Para 2, piénsalo de esta manera:

Se está preguntando la tasa de cambio de temperatura,$$\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial T}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial T}{\partial z}\frac{dz}{dt}=\nabla T \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=\nabla T \cdot \vec{v}=||\nabla T|| ||\vec{v}||\cos\theta$ $

Dado que dice que la velocidad es$e^8$, entonces$||v||=e^8$. Los otros son obvios.

3. Necesitamos $||\nabla T|| ||\vec{v}||\cos\theta\leq \sqrt{14}e^2$. Puede resolver$\cos\theta$ para encontrar la dirección.

Answer 2

Sugerencias:

1. Una dirección es generalmente dada por un vector unitario. La dirección para mover a obtener el mejor enfriamiento podría ser $$ -\frac{\nabla T(1,1,1)}{\|\nabla T(1,1,1)\|} $$ cual es el sentido de la $-\nabla T(1,1,1)$; así, el mod de la magnitud, su forma de pensar es la correcta. La dirección por lo tanto, sería $$ \frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}} $$

2. La velocidad descrita por una velocidad de $e^8$ en la dirección dada en 1. es $$ e^8\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}} $$ La tasa de cambio de $T$ que se mueve en el que la velocidad es $$ \begin{align} e^8\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}\cdot\nabla T(1,1,1) &=-e^8\frac{\nabla T(1,1,1)}{\|\nabla T(1,1,1)\|}\cdot\nabla T(1,1,1)\\[6pt] &=-e^8\|\nabla T(1,1,1)\| \end{align} $$

3. Deja que la dirección de los viajes de los ser $d$ donde $|d|=1$. La tasa de cambio de $T$ consigue moviendo a la velocidad de la $e^8$ dirección $d$ es $$ e^8d\cdot\nabla T(1,1,1) $$ Ahora, desde la $u\cdot v=|u|\,|v|\cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre las direcciones de $u$$v$, la tasa de cambio de $T$ es $$ e^8\|\nabla T(1,1,1)\|\cos(\theta) $$ así que tenemos que encontrar$\theta$, de modo que $$ -\sqrt{14}e^2\le e^8\|\nabla T(1,1,1)\|\cos(\theta)\le\sqrt{14}e^2 $$