$a-b \nmid a^2+b^2$ If$a>b+2$ y$\gcd(a,b)=1$

Question

Cualquier número de co-prime$a,b$ con$a>b+2$ tenemos$a^2+b^2$ no es divisible por$a-b$,$a,b \in \mathbb{N}$. Pero, ¿cómo probar esto?

Answer 1

Si$a-b \mid a^2+b^2$ entonces$\gcd(a^2+b^2,a-b)=a-b \ge 3$. Ahora $$ \ gcd (a ^ 2 b ^ 2, ab) = \ gcd (a ^ 2 b ^ 2 (ab) ^ 2, ab) = \ gcd (2ab, ab). $$ Dado que$\gcd(a,b)=1$ entonces cada división primaria$a$ o$b$ no puede dividir$a-b$. Por lo tanto $$ \ gcd (a ^ 2 b ^ 2, ab) \ in \ {1,2 \}. $$ En particular, su conjetura es verdadera.

Answer 2

Dado que$a-b$ divide$a^2-b^2$, si también divide$a^2+b^2$ entonces$a-b$ divide$2b^2$.

Ahora use que$a$ y$b$ son coprime para ver que$a-b$ y$b^2$ son coprime. Así que por el lema de Euclides$a-b$ divide$2$. Esto contradice la condición$a-b>2$.