Cómo resolver ecuaciones de esta forma: $x^x = n$ ?

Question

¿Cómo puedo resolver ecuaciones de esta forma?

$$ x^x = n $$

para valores de n que hacen no tienen soluciones obvias a través de la factorización, como $27$ ( $3^3$ ) o $256$ ( $4^4$ ).

Por ejemplo, ¿cómo puedo resolver la x en esta ecuación? $$x^x = 7$$

Soy estudiante de bachillerato y no me he aventurado precisamente en las "matemáticas superiores". Lo primero que pensé al abordar esta ecuación fue convertirla en una forma logarítmica y partir de ahí, pero al final esto no produjo nada útil.

Mis disculpas si esta pregunta ya ha sido formulada y respondida; no he podido encontrar una respuesta concreta al respecto.

Answer 1

Puedes resolverlo usando el método de newton

$$ f(x) = x^x - 7 = 0 \Rightarrow f'(x) = x^x(\ln x+ 1) $$

ahora elija $ x_0 $ y que sea $ x_0 = 2 $

y utilizar la fórmula $$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^{x_n} - 7}{x_n^{x_n}(\ln x_n + 1) }$$

ahora sólo hay que evaluar $ x_1 $ utilizando $ x_0 $ entonces $ x_2 $ entonces $x_3 \cdots $ por una calculadora y encontrarás una aproximación

$$ x_1 \approx 2.442962082 $$

$$ x_2 \approx 2.331852211 $$

$$ x_3 \approx 2.316698614 $$

$$ x_4 \approx 2.31645502 $$

$$ x_5 \approx 2.316454959 $$

$$ x_6 \approx x_5 $$

$$ x_7 \approx x_6 $$

$$ x \approx 2.316454959 $$

http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/approx/newton.html

http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html

Answer 2

Ecuaciones como $x^x=7$ a menudo no tienen soluciones "agradables". Siempre que veas algo como $x^x$ algo en lo que debe pensar es en la Función Lambert W . Esta es la función $W(x)$ , definida implícitamente por $z=W(z)e^{W(z)}$ .

En su caso, tomando los logaritmos naturales se obtiene $x \log x=\log 7$ . Así que $e^{\log x} \log x=\log 7$ Así que $\log x=W(\log 7)$ y finalmente $x=e^{W(\log 7)}$ . La función W de Lambert tiene muchas ramas diferentes, lo que es algo parecido al hecho de que cuando se toma una raíz cuadrada se puede elegir la raíz cuadrada positiva o negativa. Esto significa que no hay una solución única para tu ecuación. Puedes obtener algunas familias de soluciones utilizando Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ex%3D7 .

Answer 3

No se puede expresar la solución de esta ecuación en funciones elementales. Sin embargo, puedes expresar la solución en términos de la función de Lambert $W$ función: http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . El $W$ -se define por: $x = W(x)\cdot e^{W(x)}$ .

Dejemos que $y = \ln x$ . Escriba su ecuación como $e^{x \ln x} = n$ o, por el contrario $x \ln x = \ln n$ ou $y e^y = \ln n$ . Entonces $y = W(\ln n)$ y $x = e^y = e^{W(\ln n)}$ .

Answer 4

La solución implica una función llamada función W de Lambert. Hay una página de Wikipedia sobre ella.
Como dice Oliver, no es una forma bonita y ordenada. Es una función completamente nueva. Su definición es $$ye^y=z, W(z)=y$$
¿Se pueden utilizar troncos para convertir $x^x=n$ en $ye^y=f(n)$ , para $y$ igual a alguna función de $x$ ?

Answer 5

Se puede resolver el problema de encontrar un valor aproximado.Pero la precisión ... $(x_0+\triangle x)^{x_0+\triangle x}=7\\x=2;\triangle x=?\\f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\triangle x\\f(x_0)=2^2=4\\f'(x)=x^x(lnx+1)*\triangle x\\7=4+4(ln2+1)*\triangle x\\\triangle x=\frac{3}{4(ln2+1)}\approx0.44\\x=2+0.44\approx2.44\\2.44^{2.44}\approx8.8$