¿Por qué el homomorfismo natural del anillo induce un homomorfismo del grupo surjectivo de unidades?

Question

Estoy tratando de un viejo problema aquí: http://www.math.dartmouth.edu/archive/m111s09/public_html/homework-posted/hw1.pdf

Supongamos $n\mid m$, y tengo una natural anillo de homomorphism $\varphi\colon \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ definido por $\varphi(j)=j\mod{n}$. Puedo comprobar que este es un anillo homomorphism, pero ¿por qué inducir un surjective grupo homomorphism en la unidad grupos de $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\to(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$?

Mi pregunta en concreto es ¿por qué es surjective? Aprovecho $k\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. Entonces existen enteros $s,t$ tal que $sn+tk=1$. Desde $n\mid m$, también puedo escribir $m=na$. Así que multiplicando a través llego $sm+tka=a$. Estoy perdido aquí. ¿Cómo puedo encontrar una unidad en $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ que se asigna a $k$ surjectivity?

Answer 1

En primer lugar, reduzca el caso en que$n$ y$m$ son ambos poderes de un% primo% #%, usando el teorema del resto chino. Después de esta reducción, el resultado es claro ya que la valoración adic$p$ es menor que la$p$ - valoración adic de$n$ para cualquier% prime$p$.

Answer 2

Si desea una solución "peatonal" sin conocimientos en teoría de grupos o teoría de números, debe tener en cuenta que cuando$k$ es su unidad, entonces$k+ln$ también son unidades, por lo que tiene varios candidatos para la unidad En el grupo más grande y solo tienes que conectarlos a tu ecuación y mostrar que uno de ellos da un coeficiente de$n$ divisible by$a$.