Cómo evaluar:$$\int_{0}^\infty {\sin^3(x)\over x}dx$ $ No sé cómo hacerlo. He intentado terminar con la integración por partes, pero no funciona? ¿Puede alguien decirme cómo evaluar la integral?
Respuestas
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Thomas
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Lo sabemos $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx = \dfrac{\pi}{2}$. También, $\sin^3 x = \dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$.
Por lo tanto, $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^3 x}{x}\,dx = \dfrac{3}{4}\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx - \dfrac{1}{4}\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin 3x}{x}\,dx$.
¿Puedes terminar de aquí?
Claude Leibovici
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Yo recomendaría siguientes a la simplificación de los pasos en las otras respuestas y llegar a
$$\begin{align}I &=\dfrac{1}{4}\int_0^\infty \frac{3\sin(x) -\sin(3x)}{x} \mathrm{d}x\\&= \dfrac{1}{4}\int_0^\infty \frac{2\sin(x)}{x} \mathrm{d}x+\dfrac{1}{4}\int_0^\infty \frac{\sin(x) -\sin(3x)}{x} \mathrm{d}x\end{align}$$
La primera integral es un conocido valor y la segunda es la de la Frullani tipo y de inmediato puede ser visto de cero.
Por lo tanto,$$I = \dfrac{1}{4}\int_0^\infty \frac{2\sin(x)}{x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$$
Para aquellos interesados, Frullanian integración surge con las integrales de la forma $$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \mathrm{d}x$$
Para convergente integrales implican una función de $f(x)$ continuo con derivados, podemos escribir
$$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \mathrm{d}x = \lim_{x\to\infty} (f(x) - f(0))\log(a/b)$$
En una instancia en donde el límite no existe, también es posible escribir
$$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \mathrm{d}x = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}\int_0^x f(x)\, \mathrm{d}x - \lim_{x\to 0}x\int_0^{x}f(x)\, \mathrm{d}x\right)\log(a/b)$$
