Definir una función $g = h'_x - ih'_y$ . Desde $h$ es armónico (y por tanto $C^2$ ), $g$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en $\Omega$ . De hecho: $$ (h'_x)'_x = h''_{xx} = -h''_{yy} = (-h'_y)'_y $$ y $$ (h'_x)'_y = h''_{xy} = h''_{yx} = -(-h'_y)'_x. $$ En otras palabras, $g$ es holomorfo en $\Omega$ . Supongamos por un momento que $g$ admite una antiderivada $G$ en $\Omega$ . Si $G = U+iV$ Cauchy-Riemann demuestra que $G' = U'_x-iU'_y$ pero $G' = g = h'_x-ih'_y$ Así que $\nabla U = \nabla h$ es decir $U=h+C$ y también podemos tomar $C=0$ ajustando nuestra elección de $G$ . Por lo tanto, $h = U = \operatorname{Re} G$ .
El problema es que $\Omega$ no está simplemente conectado, por lo que no podemos garantizar que $g$ admite una antiderivada. Por otro lado, sabemos que $g$ tiene una antiderivada en $\Omega$ si y sólo si $\int_\gamma g(z)\,dz = 0$ para toda curva simple cerrada en $\Omega$ y no es difícil ver que esta condición es equivalente a que los residuos de $g$ en $0$ y $1$ deben ser ambos $0$ .
Dejemos que $a_0 = \operatorname{Res}\limits_{z=0} g$ y $a_1 = \operatorname{Res}\limits_{z=1} g$ y poner $u(z) = h(z)-a_0\log|z|-a_1\log|z-1|$ .
Repite el argumento anterior para obtener una función holomorfa $f=u'_x-iu'_y$ en $\Omega$ . Es sencillo comprobar que $$ f(z) = g(z) - \frac{a_0}{z} - \frac{a_1}{z-1} $$ por lo que, por construcción, los residuos de $f$ en $0$ y $1$ se desvanecen, y a partir de la discusión anterior, hemos terminado.
Esto se encarga de la existencia. Para la unicidad, supongamos que $u(z) = h(z)-a_0\log|z|-a_1\log|z-1|$ y $\tilde u(z) = h(z)-\tilde a_0\log|z|-\tilde a_1\log|z-1|$ son dos de estas funciones. Entonces $u(z) = \tilde u(z) = (a_0-\tilde a_0) \log|z|-(a_1-\tilde a_1)\log|z-1|$ es la parte real de una función holomorfa sobre $\Omega$ . Es un ejercicio estándar para comprobar que esto sólo puede ocurrir si $a_0 = \tilde a_0$ y $a_1 = \tilde a_1$ .
