¿Cuál es la relación entre la integración de los sistemas y tóricas de degeneraciones?

Question

Dado un integrable sistema de Kahler colector de X, hay una manera de asociar un tóricas de la degeneración de X cuya Milnor fibras están relacionados con las fibras de la integrable sistema?

Un integrable sistema es, al menos, un mapa de X a y R^n cuyo coordinar las funciones de Poisson viaje. El momento en el mapa de un Hamiltoniano toro acción tienen esta propiedad, pero hay otros ejemplos. Por ejemplo, la bandera de la variedad de GL(n,C)/B tiene una famosa integrable sistema y un famoso tóricas de la degeneración, de la que ambos están relacionados con el mismo polytope--un Gelfand-Tsetlin polytope. (Famoso pero no conozco la original de referencias para estas construcciones.)

Dado un tóricas de la degeneración Y --> C, se puede intentar la construcción de un integrable sistema general de fibra Y1 fluyendo a lo largo de un gradiente de campo vectorial a partir de Y1 a Y0 (el especial de fibra, un tóricas de la variedad) y la proyección de R^n por el momento el mapa de el toro de acción en Y0. He oído que esto no funciona en la nariz, pero de que funciona lo suficientemente bien que puede en puntos apropiados identificar las fibras de, por ejemplo, la Gelfand-Tsetlin integrable sistema con el Milnor fibras de la Gelfand-Tsetlin tóricas de la degeneración. Posiblemente comenzando con una integrable sistema y tratando de construir una tóricas de la degeneración es más fácil y más algebraicas.

P. S. Algunas referencias después de todo: Guillemin y Sternberg, "El Gelfand-Cetlin sistema y la cuantificación de los complejos de la bandera de colectores," y Gonciulea y Lakshmibai, "Degeneraciones de la Bandera de Schubert y las variedades tóricas de variedades."

Answer 1

Estoy muy de cerca escribí mi tesis doctoral sobre este tema. He aquí tanto como yo era capaz de averiguar, a pesar de que casi no es una respuesta directa a su pregunta.

1) Decir que su espacio total es de K\"ahler, y sus fibras son compactos. A continuación, puede definir un Levi-Civita de conexión en cualquier conjunto abierto que consta de fibras lisas. Resulta que esta relación genera symplectomorphisms entre las fibras.

2) En tóricas de degeneraciones, el toro actúa sobre el espacio total de la familia, sobre todo de moverlos, pero conservando el cero de la fibra (que es por qué es tóricas).

1+2?) Ahora imagine que usted utilice (1) para dar un mapa de su general en fibra $F_1$ a su fibra especial,$F_0$. Mapa además, a ${\mathfrak t}^*$, utilizando el momento de mapa en el tóricas de la variedad.

Ahora usted tiene una integrable sistema de $F_1$, robo de $F_0$!

Hay un problema: desde $F_0$ no es suave, en realidad no podemos usar (1) para hacer el mapa. La esperanza es tomar límites a lo largo de la horizontal del vector de campo para definir un continuo de la función $F_1 \to F_0$.

3) resulta que este es el mismo como el gradiente de flujo para la norma de la plaza de el momento en el mapa. Y los límites de la real analítica gradiente de flujos de suave variedades son bien entendido, por Lojasiewicz. Así que si su espacio total es suave, usted puede usar esto para mostrar que el mapa de $F_1 \to F_0$ está bien definido, continua y suave, lejos de las singularidades en $F_0$.

Nunca me puse en torno a la investigación de cómo las cosas cambian si el espacio total es de singular (como en el Gel'fand-Cetlin-Sturmfels-Gonciulea-Lakshmibai degeneración de motivar a la persona, y a mí también). Por supuesto, usted puede elegir una resolución de singularidades, y supongo que se le puede pedimos que la métrica en la excepcional fibras de ser muy muy pequeño, y el uso que generalizar Lojasiewicz resultados. Pero nunca he trabajado en esto en serio.

Ejemplo:

Que la familia sea $det : C^{2\times 2} \to C$. A continuación, el $0$ fibra es el cono sobre $P^1 \times P^1$, por lo que un tóricas de variedad, pero la fibra a $1$$SL(2)$. Que tiene un $T^2$ acción, por la izquierda y a la derecha de la multiplicación por su máxima toro, pero que no tienen el reescalado de acción que el $0$ fibra disfruta. Uno puede realmente resolver la educación a distancia se define por la de Levi-Civita/flujo de gradiente y anote el mapa de $SL(2) \to det^{-1}(0)$. Se derrumba $SU(2)$ para el singular punto de $0$.

¿Qué es la integración del sistema? Respecto a$SL(2)$$T^* S^3$, y la acción de la variable como $(p,\vec v) \mapsto |\vec v|$. Esto genera la unidad de velocidad de flujo de gradiente en $T^* S^3$, que se descompone en cero los vectores ( $SU(2) = S^3$ ), porque no sabemos en qué dirección ir.

Answer 2

Estimado David, usted puede encontrar el artículo "Integración de sistemas, tóricas de degeneraciones y Okounkov de los cuerpos", arXiv:1205.5249, útil.