Evaluar $(1+p)\cdots(1+\frac pn)$

Question

Prueba para $\forall p\in\mathbb{R}$ , $$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\prod_{k=1}^n(1+\frac{p}{k})}{n^p}=L_p$$ donde $L_p\in\mathbb{R}$ .

Además, he intentado calcular $L_p$ y se puede calcular si $p$ es un número entero. ¿Qué pasa si $p$ no es un número entero?

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} L_{p} & \equiv \lim_{n \to \infty}{\prod_{k = 1}^{n}\pars{1 + p/k} \over n^{p}} = \lim_{n \to \infty}\bracks{{1 \over n^{p}}\, {\prod_{k = 1}^{n}\pars{k + p} \over n!}} = \lim_{n \to \infty}\bracks{{1 \over n^{p}n!}\,\pars{1 + p}^{\large\overline{n}}} \\[5mm] & = \lim_{n \to \infty}\bracks{{1 \over n^{p}n!}\,{\Gamma\pars{1 + p + n} \over \Gamma\pars{1 + p}}} = {1 \over \Gamma\pars{1 + p}}\lim_{n \to \infty} \bracks{{1 \over n^{p}}\,{\pars{n + p}! \over n!}} \\[5mm] & = {1 \over \Gamma\pars{1 + p}}\,\lim_{n \to \infty}\bracks{{1 \over n^{p}}\, {\root{2\pi}\pars{p + n}^{p + n + 1/2}\expo{-p - n} \over \root{2\pi}n^{n + 1/2}\expo{-n}}}\quad\pars{\substack{Here,\ I\ use\ the\ well\ known\\[1mm] {\large z!\ Stirling\ Asymptotic\ Expansion} }} \\[5mm] & = {1 \over \Gamma\pars{1 + p}}\,\lim_{n \to \infty}\bracks{{1 \over n^{p}}\, {n^{n + p + 1/2}\,\pars{1 + p/n}^{3/2 + p + n}\,\expo{-p} \over n^{n + 1/2}}} \\[5mm] & = {1 \over \Gamma\pars{1 + p}}\,\lim_{n \to \infty} \bracks{\pars{1 + {p \over n}}^{n}\,\expo{-p}} = \bbx{1 \over \Gamma\pars{1 + p}} \end{align}

Answer 2

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\prod_{k=1}^n(1+\frac{p}{k})}{n^p}=1/\Gamma(1+p)$$

Avísame si necesitas consejos.

Estoy seguro de que soy el primero que ha acertado.

Answer 3

Como el resultado es $\dfrac1{\Gamma(p+1)}$ , Voy a tratar de conseguir $\dfrac1{p!}$ para los enteros $p$ de forma relativamente elemental.

$\begin{array}\\ L(p, n) &=\dfrac{\prod_{k=1}^n(1+\frac{p}{k})}{n^p}\\ &=\dfrac{\prod_{k=1}^n(\frac{k+p}{k})}{n^p}\\ &=\dfrac{\prod_{k=1}^n(k+p)}{n^p\prod_{k=1}^nk}\\ &=\dfrac{\prod_{k=p+1}^{n+p}k}{n^p\prod_{k=1}^nk}\\ &=\dfrac{\prod_{k=p+1}^{n}k\prod_{k=n+1}^{n+p}k}{n^p\prod_{k=1}^pk\prod_{k=p+1}^nk} \qquad\text{assuming } n > p\\ &=\dfrac{\prod_{k=n+1}^{n+p}k}{n^p\prod_{k=1}^pk}\\ &=\dfrac{\prod_{k=1}^{p}(n+k)}{n^pp!}\\ &=\dfrac{\prod_{k=1}^{p}(1+k/n)}{p!}\\ &>\dfrac{1}{p!}\\ \text{and}\\ L(p, n) &<\dfrac{(1+p/n)^p}{p!}\\ &<\dfrac{(1+1/n^{2/3})^{n^{1/3}}}{p!} \qquad\text{if } n > p^3\\ &<\dfrac{e^{1/n^{1/3}}}{p!} \qquad\text{since } (1+1/m^2)^m < e^{1/m}\\ &\to\dfrac{1}{p!} \qquad\text{as } n \to \infty\\ \end{array} $

Answer 4

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Utilizando la elegante respuesta y el enfoque de Félix Marín, podríamos incluso aproximar el valor de los términos parciales $$P_{n,p}=\dfrac{\prod_{k=1}^n(1+\frac{p}{k})}{n^p}$$ extendiendo la expansión en serie de $$A=\frac 1 {n^p}\frac{ (n+p)!}{n!}\implies \log(A)= \log \left(\frac 1 {n^p}\frac{ (n+p)!}{n!}\right)$$ utilizando la aproximación de Stirling; una vez hecho esto, Taylor vuelve a utilizar $A=e^{\log(A)}$ lleva a $$P_{n,p}=\frac{1}{\Gamma (1+p)} \left(1+\frac{p (p+1)}{2 n}+ \frac{(3p+2)(p+1)p(p-1)}{24n^2 }\right)+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ que parece ser bastante bueno incluso para valores bastante pequeños de $n$ $$\left( \begin{array}{cccc} p & n & \text{exact} & \text{approximation} \\ \frac{1}{\pi } & 5 & 1.16285 & 1.16281 \\ \frac{1}{\pi } & 10 & 1.14055 & 1.14054 \\ \frac{1}{\pi } & 15 & 1.13295 & 1.13294 \\ \frac{1}{\pi } & 20 & 1.12911 & 1.12911 \\ & & & \\ \pi & 5 & 0.40364 & 0.39394 \\ \pi & 10 & 0.24928 & 0.24808 \\ \pi & 15 & 0.20801 & 0.20766 \\ \pi & 20 & 0.18914 & 0.18899 \end{array} \right)$$