Considere un punto $p [-1, 1]^n \setminus B(\mathbf{0}, 1)$ . Observe que $B(p, r) [-1, 1]^n \setminus B(\mathbf{0}, 1)$ si y sólo si $r$ no es mayor que la distancia de $p$ a cualquiera de las caras del cubo y tampoco mayor que la distancia de $p$ a $B(\mathbf{0}, 1)$ . Pero podemos calcularlos.
Para $n = 2$ y $p = (x, y)$ las distancias de las caras son $1 - x$ , $1 - y$ , $x - (-1) = 1 + x$ y $y - (-1) = 1 + y$ . La distancia del balón es $\sqrt{x^2 + y^2} - 1$ .
Para encontrar el supremum basta con maximizar el mínimo de las distancias. Por la simetría del problema, podemos suponer $0 x y 1$ y, por lo tanto, considerar sólo el mínimo de $1 - y$ y $\sqrt{x^2 + y^2} - 1$ . Consideramos dos casos, según cuál de las cantidades sea menor. Esto se decide por la condición $1 - y \sqrt{x^2 + y^2} - 1$ que en nuestra situación equivale a $2 \sqrt{1 - y} x$ .
Si $2 \sqrt{1 - y} x$ entonces $r = 1 - y$ que estamos maximizando. De manera equivalente, estamos minimizando $y$ en condiciones $0 2 \sqrt{1 - y} x y 1$ . Tenga en cuenta que como $y$ disminuye de $1$ a $0$ la cantidad $2 \sqrt{1 - y}$ aumenta de $0$ a $2$ . Por lo tanto, al minimizar $y$ bajo la condición de obtener $x = y = 2\sqrt{1 - y}$ .
Si $2 \sqrt{1 - y} x$ entonces $r = \sqrt{x^2 + y^2} - 1$ que estamos maximizando. $r$ aumenta a medida que $x$ aumenta, por lo que ponemos $x = \min(y,\, 2\sqrt{1 - y})$ y maximizamos $\sqrt{\min(y,\, 2\sqrt{1 - y})^2 + y^2} - 1$ para $0 y 1$ . Volvemos a considerar dos casos: si $y 2 \sqrt{1 - y}$ , entonces estamos maximizando $\sqrt{y^2 + y^2} - 1 = \sqrt{2} y - 1$ o de forma equivalente $y$ en condiciones $0 y 2\sqrt{1 - y},\, 1$ . Por la misma observación sobre el comportamiento de las dos cantidades obtenemos de nuevo $y = 2 \sqrt{1 - y}$ . En caso contrario, si $y 2 \sqrt{1 - y}$ maximizamos $\sqrt{4 (1 - y) + y^2} - 1 = 1 - y$ y por lo tanto minimizar $y$ en $0 2 \sqrt{1 - y} y 1$ que ya hemos hecho.
En todos los casos obtenemos $x = y = 2 \sqrt{1 - y}$ con solución $x = y = 2 \sqrt{2} - 2$ y $r = 1 - y = \sqrt{x^2 + y^2} - 1 = 3 - 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)/(\sqrt{2} + 1)$ que es el resultado deseado.
Es de esperar que el cálculo se pueda generalizar a cualquier $n$ . Podemos volver a suponer $0 x_1 x_2 … x_n 1$ y maximizar $\min(1 - x_n,\, \sqrt{_{i = 1}^n x_i^2} - 1)$ .
También hay que tener en cuenta que $(\sqrt{n} - 1)/(\sqrt{n} + 1) \to 1$ como $n \to $ . Por lo tanto, en dimensiones superiores las bolas más pequeñas tienen casi el mismo radio que $B(\mathbf{0}, 1)$ y por lo tanto se cruzan. Se tocan exactamente cuando $n = 9$ . Más concretamente, cada dos de los $2^9$ las bolas con centros que comparten todas las coordenadas menos una se tocan.
Le di este problema a un colega mío y encontró el resultado para $n = 2$ una forma diferente: consideró una copia del cuadrado girado por $45$ grados y luego inscribimos el pequeño círculo que buscamos en uno de los triángulos resultantes. A continuación, utilizando la trigonometría simple obtenemos $r = \tan^2(/8)$ . Como subproducto obtenemos $\tan^2(/8) = (\sqrt{2} - 1)/(\sqrt{2} + 1)$ .
