¿Cuál es la definición de la parte bien fundada de un modelo de teoría de conjuntos?

Question

He estado tratando de entender las diversas notas de John Steel sobre la teoría de los modelos internos, pero lo que me desconcierta es lo que él llama la parte bien fundada de un modelo de la teoría de conjuntos. ¿Qué es exactamente la parte bien fundada de un modelo? Si alguien pudiera darme una definición precisa (tal vez pueda definirse utilizando cierres transitivos, pero no lo sé realmente) de la parte bien fundada de un modelo, lo agradecería mucho.

Apéndice

La fundamentación a la que me refiero no es la fundamentación interna que surge de asumir el axioma de regularidad dentro del modelo. Es una propiedad externa, vista desde fuera del modelo.

Answer 1

Supongamos que $(M,E)$ es un modelo de ZFC, este es un conjunto en el universo (que también es un modelo de ZFC, para nuestros propósitos).

Es posible que $(M,E)$ es no una relación bien fundada. Internamente, por supuesto, esto es imposible. $M$ no tiene ningún elemento que sea una secuencia decreciente en $E$ ya que $M$ satisface el axioma de regularidad.

Sin embargo, nosotros, como hombres educados que miran $M$ externamente, saber que es posible que $M$ tiene más de lo que sabe. Ahora se puede preguntar por los ordinales de $M$ . A saber: $(Ord^M,E)$ como un orden lineal. Este orden tiene un segmento inicial máximo que está bien fundado.

La parte fundamentada es la parte inicial [interna] de $(M,E)$ que está realmente bien fundado. Son exactamente los conjuntos cuyo rango [interno] de von Neumann es un ordinal en la parte bien fundada de $(Ord^M,E)$ .

Answer 2

Esta es una definición tomada de la demostración del Teorema 47 de la monografía de Azriel Lévy, Una jerarquía de fórmulas en la teoría de conjuntos (Memorias de la AMS, número 57).

Definición. Dejemos que $ M $ sea un conjunto, y $ E $ una relación binaria sobre $ M $ .

• Un subconjunto $ X $ de $ M $ se llama $ E $ -transitivo si y sólo si $$ (\forall x,y \in M)(((y \in X) \land ((x,y) \in E)) \to (x \in X)). $$
• El $ E $ -Cierre transitivo de un elemento $ x $ de $ M $ se define como el siguiente subconjunto de $ M $ : $$ \{ y \in M \mid (\forall X) ( ((x \in X \subseteq M) \land (X ~ \text{is} ~ E \text{-transitive})) \to (y \in X) ) \}. $$
• Un subconjunto $ X $ de $ M $ se llama $ E $ -bien fundado si y sólo si para todo subconjunto no vacío $ Y $ de $ X $ existe un $ y \in Y $ tal que $ (x,y) \notin E $ por cada $ x \in Y \setminus \{ y \} $ .
• El $ E $ -parte bien fundamentada de $ M $ se define finalmente como subconjunto de $ M $ : $$ \{ x \in M \mid \text{The} ~ E \text{-transitive closure of} ~ x ~ \text{is} ~ E \text{-well-founded} \}. $$