¿Están las funciones analíticas densas en el espacio de funciones continuas?

Question

1. Podemos considerar funciones definidas en los números reales o complejos en cualquier número finito de dimensiones. Las funciones están definidas en todas partes. No es necesario que tengan soporte limitado. Pueden definirse en subconjuntos abiertos o cerrados de R^n o C^n (escribiendo desde mi teléfono así que evitando latex) o en todas partes.

2. Al definir funciones continuas, la continuidad se considera en el contexto de la topología inducida por la métrica euclidiana.

3. La distancia entre funciones se puede tomar como la distancia en la norma L2 (la integral sobre todo el dominio de la diferencia al cuadrado entre dos funciones).

¿Cuál de estas suposiciones, si se cambia, podría cambiar la respuesta a la pregunta? Por ejemplo, podríamos querer aproximarnos a funciones continuas con funciones analíticas. Pero también podríamos desear hacer esto con confianza para una amplia clase de funciones como sea posible: por ejemplo, ¿qué hay de funciones continuas por tramos con puntos de discontinuidad finitos o contables? Podríamos considerar ampliar la clase de funciones para incluir una de las dos últimas. Además, podríamos querer imponer los criterios de convergencia más estrictos posibles para las aproximaciones. Por ejemplo, podríamos querer fortalecer el requisito de cercanía en L^2 a cercanía uniforme o cercana a uniforme (por ejemplo, uniforme salvo por un conjunto finito de puntos, es decir, "casi en todas partes"), donde la cercanía se ve en el sentido de la convergencia de una secuencia de aproximaciones sucesivamente mejores. Así que considere las suposiciones declaradas (numeradas), pero siéntase libre de comentar si la respuesta seguiría siendo válida para suposiciones más favorables dado que el objetivo es aproximar funciones como se ha indicado.

Answer 1

1. Como se mencionó en una respuesta anterior antes de que se pusiera en espera, el teorema de Stone-Weierstrass establece que las funciones polinómicas son densas en el espacio de funciones continuas $f: [a,b] \to \mathbb R$ para la convergencia uniforme, lo que implica densidad en $L^2$. De hecho, dado que las funciones continuas son densas en $L^2$, esto significa que cualquier función medible $f: [a,b] \to \mathbb R$ con $\int_{a}^b |f|^2 <+\infty$ puede aproximarse en $L^2$ por polinomios, no importa cuán discontinua sea $f$.

2. Esto también funciona para funciones definidas sobre un intervalo infinito, pero se necesita más trabajo (no es una consecuencia inmediata de Stone-Weierstrass).

3. Si $U \subset \mathbb C$ es un conjunto abierto, entonces el espacio de funciones analíticas complejas $f: U \to \mathbb C$ que también está en $L^2(U)$ está cerrado para la norma $L^2$ (se llama el espacio de Bergman $A^2(U)$). En particular, no es denso en el espacio de funciones continuas de valores complejos definidos en $U$.

4. No estoy seguro si este caso también te interesa, pero si $K \subset \mathbb C$ es un compacto sin interior, puedes preguntarte si las funciones continuas de valores complejos en $K$ pueden aproximarse uniformemente por restricciones a $K$ de funciones analíticas. Esta es una pregunta más delicada, que depende de $K$. Se sabe, por ejemplo, que si $K$ desconecta el plano en a lo sumo finitas componentes, la respuesta es sí; lo mismo si $K$ tiene medida de Lebesgue cero.