Demuestre que$0 \leq ab^2-ba^2 \leq \frac{1}{4}$ con$0 \leq a \leq b \leq 1$.

Question

Sea$a$ y$b$ números reales tales que$0 \leq a \leq b \leq 1$. Pruebalo $0 \leq ab^2-ba^2 \leq \dfrac{1}{4}$.

Intento

Podemos ver que$ab^2-ba^2 = ab(b-a)$, por lo que es obvio que es mayor o igual a$0$. Pero ¿cómo se muestra es también menor o igual a$\dfrac{1}{4}$?

Answer 1

Sugerencia: escriba$b=a+c$. Entonces $ab(b-a)=ac(a+c)$. Ahora aplique la desigualdad AM-GM a$a,c$ y recuerde$a+c=b\leq 1$.

Elaboración en la parte AM-GM:$\sqrt{ac}\leq\frac{a+c}{2}\leq\frac{1}{2}$ so$ac\leq\frac{1}{4}$.

Answer 2

Primera prueba

La parte $0 \leq ab^2-ba^2$ es equivalente con $$0 \leq ab(b-a)$$ which is true because $b \geq \geq 0$ .

Por otra parte el uso de $b^2 \leq b \leq 1 $ $a^2 \leq a$ como sigue :

$$ab^2-ba^2 \leq ab-ba^2=b(a-a^2) \leq a-a^2 \leq \frac{1}{4}$$ the last part being equivalent with $\a la izquierda (a-\frac{1}{2} \right )^2 \geq 0$ .

Segunda prueba

Denotar $f(a,b)=ab^2-ba^2=ab(b-a)$ . Ahora note que si $d>0$, entonces :

$$f(a+d,b+d)=(a+d)(b+d)(b-a) \geq ab(b-a)=f(a,b)$$

De esta manera podemos aumentar el $b$ $1$eligiendo $d=1-b$ (esta técnica se llama generalmente suavizado ). Por lo que es suficiente para demostrar que :

$f(a+d,1) \leq \frac{1}{4}$ que es como en la prueba anterior equivalente con $$\left (a+d -\frac{1}{2} \right )^2 \geq 0$$

Answer 3

Hay más maneras de resolver esos problemas. Desde $f(a,b) = ab^2 - ba^2$ es continua y diferenciable, y el dominio de $0 \le a \le b \le 1$ es un compacto simplex, que alcanza su máximo y mínimo en uno de los siguientes puntos:

1. Un punto donde la $0 < a < b < 1$$\nabla f (a,b) = 0$, es decir, $f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0$

2. Un punto donde $a = 0$, $0 < b < 1$, y $f_y(a,b) = 0$

3. Un punto donde $0 < a < 1$, $b = 1$, y $f_x(a,b) = 0$

4. Un punto donde la $0 < a = b < 1$, e $f_x(a,b) + f_y(a,b) = 0$

5. Un punto donde la $a = b = 0$ o $a = b = 1$.

Calcular que $f_x(a,b) = b^2 - 2ab$, $f_y(a,b) = 2ab - a^2$. No hay puntos de tipo (1). Tipo (2) puntos son nada en la línea, y aquí $a = 0$$f(a,b) = 0$. Tipo (3) puntos de satisfacer $b = 1$, lo $1 - 2a = 0$, lo $a = \frac12$, y aquí $f(a,b) = \frac12 - \frac14 = \frac14$. Tipo de (4) puntos, todos tienen $f(a,b) = 0$. Finalmente, los dos tipo (5) puntos de $f(0,0) = 0$$f(1,1) = 0$.

Así, el mínimo de $f$ $0$ y el máximo es de $\frac14$, en este dominio.