Dígitos de$\pi$ usando aritmética de números enteros

Question

¿Cómo puedo calcular el primer par de dígitos decimales de $\pi$ utilizando sólo la aritmética de enteros? Por 'aritmética de enteros' me refiero a las operaciones de suma, resta y multiplicación con dos operandos como los números enteros, enteros división y exponenciación con un exponente entero positivo. Los primeros cien dígitos decimales o así sería suficiente si el método no es completamente general.

Por 'calcular', me refiero a que me gustaría obtener dígitos subsiguientes de $\pi$ uno-por-uno, impresión de la pantalla me lo cuenta.

(Contexto: estoy escribiendo un Befunge-98 programa...)

Answer 1

Si usted está dispuesto a comenzar con el inicio de la continuación de la fracción de $\pi$ como datos de entrada

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1

(ver http://oeis.org/A001203) puede calcular las aproximaciones $P_n/Q_n$ con aritmética de enteros. Usted puede utilizar el valor de $Q_n$ para estimar el número correcto de dígitos decimales que se obtiene al calcular su expansión decimal (Teorema 5 en la página de la wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction).

Esa página tiene fórmulas para $P_n$ $Q_n$ - se les llama $h_n$$k_n$.

Este algoritmo es probablemente no es un buen año para la producción de los dígitos de uno en un tiempo sin decidir de antemano cuántas desea. En ese sentido, es como la criba de Eratóstenes para la inclusión de los números primos.

Answer 2

El (o un) liso algoritmo para $\pi$ hace exactamente eso: extracto de dígitos de $\pi$ uno por uno enteramente basado en la aritmética de enteros. Ver aquí para una implementación de referencia y este artículo citado. Este algoritmo también características en el Lenguaje de programación que los puntos de referencia del Juego aquí.

Answer 3

Creo que lo que buscas es este artículo de Simon Plouffe

Http://arxiv.org/abs/0912.0303

Y se trata de dígitos decimales .