Limitar con el número $e$ y el número complejo

Question

Esta es mi primera pregunta. Espero pasar aquí mucho tiempo fantástico.

¿Cómo probar este hecho?

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^{n}=e^{z}$$

donde $z \in \mathbb{C}$ y $e^z$ se define por su serie de potencias.

Tengo una pista: encontrar el límite del valor abs. y los argumentos, pero no sé cómo usarlo para resolver ese problema.

Gracias por la ayuda.

Antes de intentar resolver este problema, he comprobado que $$e^z=e^{x}(\cos y + i \sin y)$$ donde $z=x+yi$ tal vez esto ayude.

Answer 1

Expandir utilizando la fórmula binomial: $\displaystyle \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k}\left( \frac{z}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^\infty E_k^n$ donde definimos $\displaystyle E_k^n = {n\choose k}\left( \frac{z}{n}\right)^k$ para $k \le n$ y $= 0$ De lo contrario,

Queremos $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty E_k^n$ para converger a $\displaystyle \sum _{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ como $n \to \infty$ Para ello mostraremos $\displaystyle E^n_k \to \frac{z^k}{k!}$ como $n \to \infty$

$\displaystyle E^n _k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\left( \frac{z}{n}\right)^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{z^k}{n^k} = \frac{n!}{n^k (n-k)!}\frac{z^k}{k!} =\frac{n}{n} \frac{(n-1)}{n}\cdot \ldots \cdot \frac{(n-k+1)}{n}\frac{z^k}{k!} $

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar $\displaystyle \frac{n}{n} \frac{(n-1)}{n}\cdot \ldots \cdot \frac{(n-k+1)}{n} \to 1$ . El número de términos a multiplicar es constante e igual a $k$ . Así que no hay ningún problema en invocar cómo cada uno de ellos va a $1$ por separado, y que limita la conmutación con la multiplicación.

Answer 2

Me gusta probarlo de la siguiente manera:

Si $g(z)=\sum a_i z^i$ donde $a_0=1$ y $a_1=0$ con $g$ entero (no estoy seguro de que necesites entero,) entonces:

$$\lim_{n\to \infty}\left(g\left(\frac z n\right)\right)^n = 1$$

Entonces defina $g(z)=(1+z)e^{-z}$ .

Tendrías que demostrar primero que $(e^w)^n=e^{wn}$ para que esa prueba funcione. Esto último se puede demostrar por inducción si primero se demuestra $e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ .

Sin embargo, este enfoque no utiliza su pista.

Answer 3

He aquí un enfoque.

$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^{n} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0 }^{n} {n\choose k} \frac{z^k}{n^k}. $$

Ahora trata de demostrar que

$$\lim_{n\to \infty} \frac{{n\choose k}}{n^k} = \frac{1}{k!}. $$

Nota:

$$ {n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)! k!}. $$

Answer 4

Con tu punto de partida mi planteamiento inmediato sería algo así como

1. Definir el logaritmo como la función inversa de $e^z$ en algún dominio que incluya $1$ , de tal manera que $\log 1 = 0$ . (La cantidad de trabajo de campo que esto requiere si no tienes ya un logaritmo adecuado depende de si tienes el teorema de la función inversa, etc.)

2. Definir $a^b = e^{b\log a}$ cuando $a$ está en el dominio de su logaritmo. Demuestra que esto satisface suficientes reglas de potencia habituales para estar de acuerdo con la elevación habitual a entero poderes. Esto también es suficiente para evaluar $(1+z/n)^n$ cuando $n$ es lo suficientemente grande, no importa lo que $z$ es.

3. Ahora $$\lim_{h\to 0} (1+hz)^{1/h} = \lim_{h\to 0}e^{\log(1+hz)/h} = e^{\lim_{h\to0}\log(1+hz)/h} = e^z $$ porque $\lim_{h\to 0}\frac{\log(1+hz)}h$ es la definición de $\frac{d}{dy}\log(1+zy)$ en $y=0$ y esta derivada se puede evaluar simbólicamente utilizando la regla de la cadena y la regla de la derivada de una función inversa utilizando lo que ya sabemos.

4. Sustituto $n=1/h$ en el límite anterior.

Answer 5

Otra respuesta muy sencilla que utiliza un poderoso teorema se describe con los siguientes pasos:

• Definir primero : $$ f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\ \ \ \ \ \ \ \ \ g(z)=\lim_{n\to +\infty}\big (1+\frac{z}{n}\big)^n$$
• En segundo lugar demostrar que $f$ y $g$ coincide sobre los números reales
• Concluya utilizando el teorema de identidad de las series de potencias