¿Cómo puedo simplificar $\int{\frac{x^{n}}{1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\dotsb+\frac{x^{n}}{n!}}}dx$

Question

¿Cómo puedo simplificar la siguiente integral?

$$\int{\frac{x^{n}}{1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\dotsb+\frac{x^{n}}{n!}}}dx$$

Answer 1

Dejemos que $S_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}.$

Entonces

$$S_n'(x) = S_n(x)- \frac{x^n}{n!}$$

y

$$\frac{x^n}{S_n(x)} = n! - n!\frac{S_n'(x)}{S_n(x)} = n! - n!\frac{d}{dx} \log S_n(x).$$

Integrar ambas partes.

Answer 2

El problema es bastante sencillo si se conoce la función gamma completa e incompleta.

$$\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}=\frac{e^x \,\Gamma (n+1,x)}{n!}$$ Esto hace que $$\int \frac{x^n}{\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}}\,dx= n!\int \frac{e^{-x} x^n}{\Gamma (n+1,x)}\,dx=-n! \log (\Gamma (n+1,x))$$

Answer 3

Usando la división larga polinómica, sabemos que $$\frac{x^n}{\frac{x^n}{n!}+\cdots+x+1} = n!\frac{x^n}{x^n+nx^{n-1}\dots n!x+n!} = n!\left(1-\frac{nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}\cdots+n!}{x^n+nx^n\dots n!x+n!}\right)$$ Obsérvese que el numerador es la derivada del denominador, por lo que una simple sustitución en u da como resultado $$\int \frac{x^n}{\frac{x^n}{n!}+\cdots+x+1} = n!(x-\log(x^n+nx^{n-1}\dots n!x+n!))$$

Answer 4

Observe que $$\int\frac{x^n}{1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}}dx=n!\int\frac{\frac{x^n}{n!}}{1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}}dx =$$ $$n!\int\frac{\frac{x^n}{n!}+\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}\right)-\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}\right)}{1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}}dx$$ $$ = n!\left(\int dx- \int \frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}\right)}{1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}}dx\right)$$ Ahora toma $$t=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$$ para que $$dt=\left( 1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!} \right)dx$$ . Así, la integral se convierte en $$ = n!\left(\int dx- \int \frac{dt}{t} \right) = n!\left(x-\ln(t)\right)$$