¿Cómo demuestro que la función dada es continua y monotónicamente creciente?

Question

¿Cómo demuestro que la siguiente función es continua y monotónicamente creciente?

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x-1}{x} & \text{if $x \neq0$ } \\ 1 & \text{if $x=0$ } \end{cases}$$

Traté de demostrar que es continua por que siempre es continua, incluso cuando $x=0$ (porque por definición se convierte en $1$ y $1$ está en la definición de las funciones superiores) pero no es suficiente y no sé cómo escribirlo matemáticamente, y sin eso no puedo dar un paso adelante para demostrar que es monótonamente creciente.

Entonces para mostrar que es monótonamente creciente, podemos ver que la derivada es $\frac{e^xx-e^x+1}{x^2}$ (existe porque la función es continua (cosa que aún no sé demostrar)), y luego para demostrar que es monotónicamente creciente demuestro que $f'(x)>0$ .

Por favor, muéstrame la forma correcta de hacerlo matemáticamente.

Answer 1

Suponiendo que $x\neq 0$ tenemos $$ \frac{e^x-1}{x} = \frac{1}{x}\int_{0}^{x} e^y\,dy \stackrel{y\mapsto xz}{=} \int_{0}^{1}e^{xz}\,dz$$ de ahí $f(x)$ aumenta porque $x\geq y$ garantiza $e^{xz}\geq e^{yz}$ para $z\in[0,1]$ .
La continuidad se deduce del teorema de convergencia monótona/dominante.

Adenda: también es sencillo comprobar que $f$ es convexa, basta con invocar La desigualdad de Jensen .

Answer 2

Dependiendo de cuánto te permitan suponer, podrías responder a la parte sobre la continuidad utilizando estos resultados:

Si $a\in\mathbb R^+$ y $f(x)$ y $g(x)$ son continuas en $F$ y $G$ respectivamente, entonces:

• $f(x)+g(x)$ es continua en $F\cap G$

• $a^{f(x)}$ es continua en $F$

• Si $(\forall x\in F\cap G)\,\,\,g(x)\neq0$ entonces $\frac{f(x)}{g(x)}$ es continua en $F\cap G$

A partir de estos resultados, se puede concluir $f(x)$ es continua en los intervalos $(-\infty,0)$ y $(0,\infty)$ .

Ahora, usando L'Hôpital,

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}{e^x}=1$$

$\implies$

$$\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=1=f(x)$$

Por lo tanto $f(x)$ es continua en $\mathbb R$ .

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Para la siguiente parte,

$$f'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$

Sea $g(x)=(x-1)e^x+1$ . Entonces

$$g'(x)=xe^x$$

$$\implies (x=0\iff g'(x)=0)$$

$$g''(x)=(x+1)e^x$$

$$\implies g''(0)=1>0$$

Ahora $g(0)=0 \land (x=0\iff g'(x)=0) \land g''(0)>0 \implies 0$ es el único mínimo.

$$\implies(\forall x\in\mathbb R)\,\,g(x)\ge0$$

$$\implies(\forall x\in\mathbb R)\,\,f'(x)\ge0$$

$\implies(\forall x\in\mathbb R)\,\,f(x)$ es monotónicamente creciente.

Answer 3

Si $0\leq x\leq y$ entonces $\frac{x^{n-1}}{n!}\leq \frac{y^{n-1}}{n!}$ para todos $n>0$ .

Por lo tanto $\frac{e^x-1}{x}=\sum_{n>0}\frac{x^{n-1}}{n!}\leq\sum_{n>0}\frac{y^{n-1}}{n!}=\frac{e^y-1}{y}$ .

Answer 4

No es una prueba, sino un bucle de animación que debería hacer "obvia" la afirmación. La función $f(x)$ es la pendiente de la recta secante entre $(0, 1)$ y $(x, e^{x})$ si $x \neq 0$ o la pendiente de la recta tangente si $x = 0$ . Como la función exponencial es suave (continuamente diferenciable) y convexa, esta pendiente aumenta continuamente con $x$ :