Razones para la definición de poleas de funciones holomorphic y meromorphic en múltiples complejos

Question

Yo estoy esperando esta pregunta es sensato y no trivial. Yo soy el aprendizaje de la geometría algebraica en el momento, y han tomado un gusto fuerte a él. Por desgracia, mi análisis complejo es más débil y sólo sé que en un nivel de licenciatura. Estoy tratando de transferir parte de lo que sé en la geometría algebraica a la lengua de complejo análisis, especialmente en el complejo de los colectores.

Mi pregunta principal es, ¿cuáles son los beneficios y los inconvenientes de la definición de la gavilla en un complejo colector (por el momento decir una superficie de Riemann, o incluso sólo la esfera de Riemann) en términos de holomorphic funciones como contraposición a meromorphic funciones? De lo que he reunido, meromorphic funciones alinee mejor con la teoría de la discreta valoración de los anillos en las curvas algebraicas, ya que esto proporciona un marco para el estudio de los polos. Sin embargo parece que holomorphic funciones son considerados como el estándar de la estructura de la gavilla. ¿Qué diferencia a esta marca, y ¿por qué elegir uno sobre el otro en determinadas situaciones? Hace alguna diferencia a la gavilla cohomology? No hace una diferencia si la superficie es compacta o no?

De nuevo, perdón si esta pregunta es trivial o no es particularmente significativo, pero me siento como que podría impulsar masivamente la velocidad que puedo aprender geometría compleja si me pueden enmarcar en el idioma de los anillos de los espacios y la geometría algebraica.

Cualquier ayuda es muy apreciada, o incluso algunas notas introductorias que usted piensa que podría ayudar a alguien que viene desde mi punto de vista.

Gracias

Answer 1

Si usted es un complejo de analista, no se puede no se como holomorphic funciones, en muchos sentidos, son preferibles a los de meromorphic. Por ejemplo, su primera preferencia es resolver, decir, ecuaciones diferenciales, de modo que las soluciones que existen en todas partes (en el dominio donde la ecuación se define y es adecuadamente regular), en lugar de en un subconjunto abierto. Usted también puede querer tener finito dimensionalidad del espacio de soluciones (y tener estimaciones sobre las soluciones en términos de ecuaciones de ellos mismos o de otros datos). El problema, sin embargo, que la compacta complejos colectores de cualquier falta no constante holomorphic funciones. Como resultado, el compromiso y el trabajo con poleas que pueden venir en varias formas diferentes. Uno de estos es la gavilla de las secciones de, digamos, una línea de haz (o, más en general, un vector paquete) dado por un divisor, o en forma de holomorphic tensores. Éstos no son más funciones y por lo tanto podría existir en todas partes de su compacto colector. Por supuesto, en el proceso puede que desee trabajar con meromorphic funciones (que se les permite volar en el divisor $D$), pero si no se impone ninguna restricción a lo largo de $D$, luego de perder finito dimensionalidad del espacio de soluciones, integrabilidad, etc. Otra cosa que puede suceder es que las soluciones de las ecuaciones de múltiples valores. Esto no es bueno para una variedad de razones, por lo que intenta hacer de ellos de un solo valor por considerarlos como secciones de un cierto gavilla y, a continuación, extender holomorphically sobre la ramificación del divisor. El hecho de que esta es (a veces) posible es debido al hecho de que está trabajando con holomorphic ecuaciones o, en el peor de los casos, las ecuaciones que se meromorphic pero han controlado las singularidades a lo largo de $D$.

La línea de base: Trabajar con holomorphic poleas no es muy diferente (o, a menudo, es el mismo) que trabajar con meromorphic poleas donde las singularidades están estrechamente controlados (donde pueden ocurrir y de qué tipo es permitido). El aflojamiento de este control puede (y, con frecuencia, no) llevar a resultados no deseados.