Una vía inversa

Question

Mi Álgebra $2$ el maestro insistió en el hecho de que cuando usted encontrar la inversa de la $g$ de una función de $f$, usted debe comprobar no sólo que $$f \circ g=\operatorname{id}$$ pero usted también debe comprobar que $$g \circ f=\operatorname{id}$$ Por ejemplo, si $$f(x)=x^2$$ entonces $$g(x)=\sqrt{x}$$ no es su inversa, porque $$f(g(x))=\sqrt{x^2}=|x|\ne x$$ Sin embargo, creo que este es menor de edad... $|x|$ es igual a $x$ la mitad del tiempo (si $x$ es real) y la otra mitad del tiempo, es sólo $-x$.

Puede alguien pensar que de un ejemplo de dos funciones de $f$ $g$ tal que $$f \circ g=\operatorname{id}$$ pero, cuando está compuesta en otro orden, el resultado es algo totalmente loco que casi nunca es igual a $\operatorname{id}$?

Answer 1

Considere la posibilidad de $f:\Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R$ $g:\Bbb R \to \Bbb R \times \Bbb R $ a ser definido por $$ f(x,y) = x \qquad g(x) = (x,0) $$ Sin duda, tenemos $f \circ g = \operatorname{id}_{\Bbb R}$. Sin embargo, hemos $$ [g \circ f](x,y) = (x,0) $$ que no es ciertamente la identidad en $\Bbb R \times \Bbb R$. Yo diría que es "casi nunca" la función identidad en el sentido de que el $x$-axis es una "infinitamente pequeña fracción" de toda la $xy$-plano.

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Es de destacar que si $f \circ g = \operatorname{id}$, $g \circ f$ siempre será igual a la identidad a través de la gama de $g$. En particular: para cualquier $y$ en el rango de $g$, podemos escribir $y = g(x)$ algunos $x$ en el dominio de $g$, y así tenemos $$ [g \circ f](y) = [g \circ f](g(x)) = g([f \circ g](x)) = g(\operatorname{id}(x)) = g(x) = y $$ Usted puede querer verificar que $f$ tendrá una "izquierda-inversa" en este sentido si y sólo si es inyectiva (uno a uno), como $g$ tendrá un "derecho-inversa" en este sentido si, y sólo si se surjective (a).

Podemos concluir de todo esto que si $f,g: \Bbb R \to \Bbb R$ son tales que $f \circ g = \operatorname{id}$, entonces habremos $g \circ f = \operatorname{id}$ en al menos algunos de los innumerables subconjunto de $\Bbb R$.

Answer 2

$$ f (x) = \dfrac{x}{1+|x|}, \hspace{0.1 en} g (x) =\begin{cases} \frac{x}{1-|x|}\, & |x|<1 \\ 0 & |x|\ge 1 \end{casos} \,. $$ $g\circ f = \text{id}$ $f\circ g$ no es la función identidad.

Answer 3

Que $g$ $\arctan$ y que $f$ $\tan$ cuando define y $17$ para el resto de las entradas (para $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ $k$ de números enteros). Entonces $f\circ g=\mathrm{id}_{\mathbb R}$ $g\circ f(x)=x$ solamente para $x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}2\right)$.

Answer 4

La existencia de $g$ tal que $f\circ g=\operatorname{id} $ significa (equivale a) $f$ es sobreyectiva, tal que significa que $g\circ f=\operatorname{id} $ $f$ es inyectiva. ¿Por qué quieres ser sobreyectiva es equivalente a ser inyectiva en general?

Por ejemplo, el % de proyección de primer $\;\begin{aligned}[t]\mathbf R^2&\longrightarrow\mathbf R\\(x,y)&\longmapsto x\end{aligned}$tiene una inversa derecha, que es la inyección canónica $\begin{aligned}[t]\mathbf R&\longrightarrow\mathbf R^2\\x&\longmapsto (x,0)\end{aligned}$, y la composición de ambos es de hecho la identidad de $\mathbf R$. Pero la composición lo contrario produce el mapa $(x,y)\longmapsto (x,0)$.