Deje $R$ $R'$ dos anillos y $f: R\to R'$ ser un mapa de cumplir las condiciones:
$f(1) = 1$.
Para todos $x,y \in R$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$.
Para todos los $x,y \in R$, $f(xy) = f(x)f(y)$ o $f(xy) = f(y)f(x)$.
Demostrar que $f$ es un homomorphism o un anti-homomorphism.
Donde $f$ se llama un anti-homomorphism si la primera de las dos condiciones anteriores se cumplen y todos los $x,y$, $f(xy) = f(y)f(x)$.
Cualquier sugerencias?
Referencia: Este ejercicio es $9$, la página de $114$ en Jacobson Básicos de Álgebra $1$. El autor escribe (Hua.) al inicio del ejercicio - por lo que al parecer este resultado es debido a Hua Luogeng?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una posible idea sería utilizar la distributividad a transformar el argumento de $f$ y se calcula de dos maneras. Esta vez limita en gran medida la posibilidad de que sucedan cosas malas. Esto es útil para mostrar que un par de $(x,y)$ tener $f(xy)$ actuar como un homomorphism o como un antihomomorphism es de alguna manera "infecciosas" - y a continuación, se utiliza para obtener el resultado deseado por la contradicción.
Lema: Supongamos que $f(xy)\neq f(y)f(x)$. Entonces, para todos los $z$,$f(xz)=f(x)f(z)$.
Tenga en cuenta que nosotros necesariamente tiene $f(y)f(x)\neq f(x)f(y)$ debido a la hipótesis. Ahora, supongamos que al contrario que $f(xz)=f(z)f(x)$ y $f(x)$ $f(z)$ no conmutan. Vamos a definir dos igualdad de expresiones: $$f(xy+xz)=f(xy)+f(xz)=f(x)f(y)+f(z)f(x).$$ $$f(x(y+z))=f(x)f(y)+f(x)f(z)\text{ or }f(y)f(x)+f(z)f(x).$$ La diferencia entre estas expresiones es $f(z)f(x)-f(x)f(z)$ o $f(x)f(y)-f(y)f(x)$, los cuales son ambos cero no por los supuestos e hipótesis. Por lo tanto, tenemos una contradicción.
Por dualizing opciones apropiadas de los anillos (es decir, la sustitución de la multiplicación en la $R$ o $R'$ por un operador de la multiplicación de las cosas en el orden contrario), podemos lograr algo más de los lemas de el mismo argumento:
Lema: Supongamos que $f(xy)\neq f(y)f(x)$. Entonces, para todos los $z$,$f(zy)=f(z)f(y)$.
Lema: Supongamos que $f(xy)\neq f(x)f(y)$. Entonces, para todos los $z$,$f(xz)=f(z)f(x)$.
Lema: Supongamos que $f(xy)\neq f(x)f(y)$. Entonces, para todos los $z$,$f(zy)=f(y)f(z)$.
Ahora, para terminar, supongo que hay algún par de $(x,y)$ tal que $f(xy)\neq f(y)f(x)$ y algunos otros par $(x',y')$ tal que $f(x'y')\neq f(x')f(y')$. Nos encontramos con que $f(xy')=f(x)f(y')$ por el primer lema. Sin embargo, también conseguimos $f(xy')=f(y')f(x)$ por la mayor lemas, lo que significa que $f(x)$ $f(y')$ viaje. Uno puede también encontrar que $f(x')$ $f(y)$ viaje. Entonces, podemos calcular: $$f((x+x')(y+y'))=(f(x)+f(x'))(f(y)+f(y'))\text{ or }(f(y)+f(y'))(f(x)+f(x'))$$ $$f(xy+xy'+x'y+x'y')=f(x)f(y)+f(x)f(y')+f(x')f(y)+f(y')f(x')$$ se nota que el centro de los dos sumandos en la segunda expresión, son los productos de desplazamientos de los términos. La diferencia de la primera expresión para el segundo es $f(x')f(y')-f(y')f(x')$ o $f(y)f(x)-f(x)f(y)$, ambos de los cuales son no-cero. Esta es una contradicción. Por lo tanto, no pueden ser ambos un par donde $f$ deja de ser un homomorphism y un par en el que falla al ser un anti-homomorphism.
