Soy capaz de diferenciar $x^n$ con respecto al $x$ desde el principio usando la definición de la diferenciación. También parece natural que el gradiente de un número finito de polinomio será de un orden inferior. Sin embargo, el hecho de que el coeficiente de la derivada de $x^5$ debe $5$, por ejemplo, parece menos evidente.
Es allí una manera de mostrar este resultado es intuitivo?
La imagen de un cubo en $n$-espacio delimitado por las coordenadas hyperplanes y otros hyperplanes paralelo a ellos a una distancia $x$ de ellos. En el caso de $n=2$, es fácil dibujar la imagen: los límites son los dos ejes de coordenadas y dos líneas paralelas a las personas, y usted está buscando en una $x$a$x$ plaza.
El volumen del cubo es $x^n$. Como $x$ cambios, ¿qué tan rápido el cambio de volumen?
Utilizar lo que yo llamo la "regla de límite":
[tamaño de límite en movimiento] $\times$ [tasa de movimiento de la frontera]
$=$ [de la tasa de cambio de tamaño de la región acotada].
Hay $n$ que se mueve límites, cada uno de tamaño $x^{n-1}$. La velocidad a la que cada uno se mueve es la velocidad a la que $x$ cambios. Por lo tanto la tasa de cambio de $x^n$ $nx^{n-1}$ veces la tasa de cambio de $x$.
PS: La regla de límite puede ser usado para demostrar la regla del producto si se utiliza un rectángulo en vez de un cuadrado. Los dos empujando los límites tienen longitudes $f$$g$; la tasa de movimiento de cada uno es la tasa de cambio de la otra.
PPS: El teorema fundamental desprende también de la regla de límite (como se señaló en los comentarios de abajo). $$ Una(x)=\int_a^x f(t)\,dx. $$ El tamaño de la frontera es $f(x)$; la tasa a la cual el límite se mueve es la velocidad a la que $x$ cambios; por lo tanto $\dfrac{dA(x)}{dx}=f(x)$.
Si usted piensa acerca de $x^n$ mientras que el volumen, en $n$ dimensiones de un cubo de lado a $n$, usted puede preguntar "¿cómo crecer cuando los $x$ aumenta?" Respuesta: contar el número de lados de la dimensión $n-1$. Para una plaza en el avión, con un ángulo fijo en el origen, tiene el cambio en el área que se producen por la parte superior y los bordes derecho, cada uno multiplicado por el espesor de la $\Delta x$, al cambiar de $x$$x + \Delta x$. Para un cubo en el espacio de 3 dimensiones, que tienen tres lados, cada una de cuyas áreas se multiplica por $\Delta x$ para obtener el cambio en el volumen. Para un segmento en $\mathbb R^1$, usted tiene el punto de la mano derecha en movimiento a través de una distancia $\Delta x$ para obtener el cambio en la longitud, y así sucesivamente.
En general, hay $n$ "lados" de un hipercubo de dimensión $n$ (con un ángulo fijo en el origen), correspondiente a incrementar cada coordenada de forma individual. (Este es también el lugar donde el $n$ en el binomio de expansión de $(x + \Delta x)^n$ proviene, por supuesto).
Voy a tratar de darle la intuición acerca de la regla del producto y aplicarlo a su caso. Supongamos que usted está tomando la derivada de la $f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots f_n$$x$. Este es aproximadamente el $\frac{1}{\Delta}$ veces
$$f_1(x+\Delta) \cdot f_2(x+\Delta) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) - f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x).$$
Ahora nos rompen esta expresión en una suma telescópica:
$$\big( f_1(x+\Delta) \cdot f_2(x+\Delta) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) - f_1(x) \cdot f_2(x+\Delta) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) \big) + \big( f_1(x) \cdot f_2(x+\Delta) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) - f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) \big) + \ldots + \big( f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) - f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x) \big),$$
con cada término en el exterior suma sucesiva sustitución de una $x+\Delta$$x$. Este paso se introduce $n$ términos exteriores, que es donde el factor de $n$ vendrá de. Simplificando, obtenemos:
$$ (f_1(x+\Delta) - f_1(x)) f_2(x+\Delta) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) + f_1(x) (f_2(x+\Delta) - f_2(x)) \cdot \ldots \cdot f_n(x+\Delta) + \ldots + f_1(x) f_2(x) \cdot \ldots \cdot (f_n(x+\Delta) - f_n(x)),$$
que es aproximadamente igual a
$$ (f_1(x+\Delta) - f_1(x)) f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x) + f_1(x) (f_2(x+\Delta) - f_2(x)) \cdot \ldots \cdot f_n(x) + \ldots + f_1(x) f_2(x) \cdot \ldots \cdot (f_n(x+\Delta) - f_n(x)).$$
Cuando todos los $f_i$s son iguales, esto es simplemente $n (f(x+\Delta) - f(x)) f^{n-1}(x)$.
Solomonoff Secreto de clavado de la intuición por lo que sugiere que el producto de la regla!
$$\frac{d}{dx}x^n = \frac{d}{dx}[\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n times}] \\ = \frac{dx}{dx}{\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n-1 times}} + (x)\frac{dx}{dx}\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n-2 times} + (x)(x)\frac{dx}{dx}\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n-3 times} + ... \\ = (1){\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n-1 times}} + (x)(1)\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n-2 times} + (x)(x)(1)\underbrace{(x)(x) ... (x)}_\text{n-3 times} + ... \\ =\underbrace{x^{n-1} + x^{n-1} + x^{n-1} + ... + x^{n-1}}_\text{n times} \\ = nx^{n-1}.$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
