\begin{align}
& \int_{-1}^0 \frac{dx} x = -\infty, \\[10pt]
& \int_0^1 \frac{dx} x = +\infty, \\[10pt]
& \lim_{\varepsilon \, \downarrow \, 0} \left( \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx} x + \int_\varepsilon^1 \frac{dx} x \right) = \lim_{\varepsilon\,\downarrow\,0} \left( \log_e \varepsilon -\log_e \varepsilon \right) = 0, \tag 1 \\[10pt]
& \lim_{\varepsilon\,\downarrow\,0} \left( \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx} x - \int_{2\varepsilon}^1 \frac{dx} x \right) = \lim_{\varepsilon\,\downarrow\,0} (\log_e \varepsilon - {}\log_e (2\varepsilon)) = \log_e \frac 1 2 \ne 0. \tag 2
\end{align}
Cuando el positivo y negativo de las piezas son tanto infinito, entonces "reordenamientos" de este tipo puede alterar tha valor de la integral. El resultado en (1) es el "valor principal de Cauchy" de la integral de -1 1.
\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,dx = 1.
Con la función delta, la parte positiva de que el valor de la integral es finito y la parte negativa es cero, por lo tanto, finito.
Pero aviso que
\int_{-\infty}^\infty \Big( 3\delta(x) \Big) \, dx = 3,
así que si uno dice \delta(0) = \infty, entonces uno tendría \delta(0) = 3\cdot\infty = \text{what?} E aquí la respuesta es que la función delta no es una "función" en el sentido de algo que genera un valor de salida para cada entrada; más bien se caracteriza por los valores de las integrales de productos de f(x)\delta(x) donde f es en realidad una función en ese sentido.