¿Cuándo son indefinidas integrales definidas?

Question

Tenemos $$\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{x} \, dx$$ as undefined and then we have $% $ $\int^1_{-1} f(x)\delta(x) = f(0)$

Suponiendo que $f(x)$ es continuo por todas partes y $$\delta(x) =\begin{cases} 0 & x\ne 0, \\ \infty & x = 0. \end{casos} $$

En ambos casos el integrando es infinito $x = 0$, entonces ¿por qué segunda integral no está definida?

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, $\delta$ no es una función en el sentido clásico, sino una distribución. Para la simplificación que usted puede pensar en él como una definición que $\int f(x)\delta(x)\,dx = f(0)$.

Pero tenga cuidado, porque en el caso de definir una función clásica $$\hat \delta(x) = \begin{cases} 0 & x\ne 0 \\ \infty & x = 0{}\end{casos}$$ as a classical function then for all integrable functions $f$ we get: $\int f(x)\hat\delta(x)\,dx = 0$ since $\hat\delta$ is zero almost everywhere and therefore $f\cdot\hat\delta$ es cero en casi todas partes.

Para entender por qué se podría decir que esta ecuación es válida para la distribución de dirac, se necesita una comprensión fundamental de la teoría de la medida y el análisis funcional.

Si usted tiene un básico de fondo en la teoría de la medida, se puede entender el delta de distribución como el resto de radon-nikodym derivados de la dirac medida y la medida de lebesgue.

Answer 2

En la física-y el espíritu de la cuestión: el "$\delta$-función" (que, como Zachary comentarios, no es un valor real de la función) ha finito integral , incluso si "el valor en un punto es infinita".

Por el contrario, la integral de la $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\, dx$ es indefinido (impropia de Riemann integral) debido a que los límites de $$ \lim_{a \to 0^{-}} \int_{-1}^{a} \frac{1}{x}\, dx = \lim_{a \to 0^{-}} \ln(-a),\qquad \lim_{h \to 0^{+}} \int_{b}^{1} \frac{1}{x}\, dx = -\lim_{h \to 0^{+}} \ln b $$ formalmente dar a la expresión indeterminada $$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\, dx = \infty - \infty. $$ Geométricamente, la región bajo la gráfica de $y = \frac{1}{x}$ $0 \leq x \leq 1$ tiene una infinidad de área, y la región por encima de la gráfica de $y = \frac{1}{x}$ $-1 \leq x \leq 0$ tiene una infinidad de área.

A pesar de que "el recíproco de la función y el $\delta$-función de infinito en un punto", sus respectivos comportamientos difieren con respecto a la integración a través de una arbitrariamente pequeño barrio de $0$.

Answer 3

No creo que todo el mundo dice que usted necesita saber para el análisis funcional o la teoría de la medida... usted sólo tiene que utilizar la definición adecuada para $\delta$:

\begin{align*} \delta(x) &= \frac{1}{2}\,\operatorname{sgn}'(x) \\ \int_{-1}^{1} f(x)\,\delta(x)\,dx &= \int_{-1}^{1} f(x)\,\frac{\operatorname{sgn}'(x)}{2}\,dx \\ &= \left.f(x)\operatorname{sgn}(x)\right|_{-1}^{+1} - \int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sgn}(x)}{2}\,f'(x)\,dx \\ &= \frac{f(1)+f(-1)}{2} + \int_{-1}^{0} \frac{f'(x)}{2}\,dx - \int_{0}^{1} \frac{f'(x)}{2}\,dx \\ &= \frac{f(1)+f(-1)}{2} + f(0) - \frac{f(-1)+f(1)}{2} \\ &= f(0) \end{align*}

Nota los siguientes:

• Usted no necesita realmente $f$ a ser diferenciable. Si se puede aproximar arbitrariamente por una función derivable, los mismos argumentos que aquí trabajan.

• Usted no necesita $\operatorname{sgn}$ a ser el signo de la función. Solo imagina que es una aproximación suave cuyo comportamiento sólo cambios muy cerca de cero. De nuevo, la prueba tiene bien en ese caso, y como la aproximación se pone mejor, el error desaparece.

Usted no necesita saber teoría de la medida o análisis funcional para entender cualquiera de esta forma intuitiva.

Answer 4

\begin{align} & \int_{-1}^0 \frac{dx} x = -\infty, \\[10pt] & \int_0^1 \frac{dx} x = +\infty, \\[10pt] & \lim_{\varepsilon \, \downarrow \, 0} \left( \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx} x + \int_\varepsilon^1 \frac{dx} x \right) = \lim_{\varepsilon\,\downarrow\,0} \left( \log_e \varepsilon -\log_e \varepsilon \right) = 0, \tag 1 \\[10pt] & \lim_{\varepsilon\,\downarrow\,0} \left( \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx} x - \int_{2\varepsilon}^1 \frac{dx} x \right) = \lim_{\varepsilon\,\downarrow\,0} (\log_e \varepsilon - {}\log_e (2\varepsilon)) = \log_e \frac 1 2 \ne 0. \tag 2 \end{align} Cuando el positivo y negativo de las piezas son tanto infinito, entonces "reordenamientos" de este tipo puede alterar tha valor de la integral. El resultado en $(1)$ es el "valor principal de Cauchy" de la integral de $-1$ $1.$

$$ \int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,dx = 1. $$ Con la función delta, la parte positiva de que el valor de la integral es finito y la parte negativa es cero, por lo tanto, finito.

Pero aviso que $$ \int_{-\infty}^\infty \Big( 3\delta(x) \Big) \, dx = 3, $$ así que si uno dice $\delta(0) = \infty,$ entonces uno tendría $\delta(0) = 3\cdot\infty = \text{what?}$ E aquí la respuesta es que la función delta no es una "función" en el sentido de algo que genera un valor de salida para cada entrada; más bien se caracteriza por los valores de las integrales de productos de $f(x)\delta(x)$ donde $f$ es en realidad una función en ese sentido.