¿Por qué necesitamos una forma normal de Jordania?

Question

Mi profesor dijo que la principal idea de encontrar una forma normal de Jordan es para encontrar el más cercano "diagonal" de la matriz que es similar a una matriz dada que no se tiene una matriz diagonal. Sé que el uso de una matriz diagonal es bueno para los cálculos y la simplificación de potencias de matrices. Pero ¿cuál es el potencial de encontrar una matriz de Jordan en la forma? ¿qué es este 'casi diagonal de la matriz me da? Hemos aprendido a encontrar, sin saber cuál es la idea principal detrás de ella y cuáles son las aplicaciones que se utilizan con ella, así que realmente no puedo entenderlo.

Answer 1

Primero de todos, el Jordan en la forma también es "bueno para los cálculos y la simplificación de potencias de matrices". En particular, si $$ J = \pmatrix{\lambda&1\\&\lambda&1\\&&\ddots & \ddots \\&&&&1\\&&&&\lambda} $$ A continuación, calculamos (al $k>n$) $$ J^k = \pmatrix{\lambda^k & k \lambda^{k-1} & \frac 1{2!} k(k-1)\lambda^{k-2} & \cdots & \frac 1{(n-1)!} k(k-1) \cdots(k-n + 1)\lambda^{k-n + 1}\\ 0 & \ddots & \ddots & \cdots\\ \vdots & \ddots} $$ Más generalmente, si $f(x)$ es una analítica de la función (como $f(x) = e^x$), tenemos

$$ f(J) = \pmatrix{f(\lambda) y f'(\lambda) & \frac 1{2!} f"(\lambda) & \cdots & \frac 1{(n-1)!} f^{(n-1)}(\lambda)\\ 0 & \ddots & \ddots & \cdots\\ \vdots & \ddots} $$ Jordan en la forma también es importante para determinar si dos matrices son similares. En particular, podemos decir que dos matrices serán similares si "tienen el mismo Jordan en la forma".

Answer 2

Ejercicio: utilizando la forma canónica de Jordan, demostrar que una matriz es diagonalizable (sobre C) si el mínimo polinomio no tiene raíces repetidas. Demostrar la Cayley Hamilton teorema (suponiendo Jordan en la forma). (La idea en todos los casos es comprender estos teoremas para un bloque de Jordan.) Demostrar que el determinante es el producto de los valores propios, y que la traza es la suma.

Así, podrás ver que la forma canónica de Jordan resume una gran cantidad de teoremas como trivial corolarios. Los que he mencionado son sólo lo que me vino a la mente, estoy seguro de que hay otros.

Por el camino también se dará cuenta de que algunos de estos teoremas son triviales para la diagonal de las matrices. Hay una técnica para la demostración de teoremas para la diagonal de las matrices, y se extiende a todas las matrices, ya que diagonalizable matrices densas en el espacio de las matrices, y así la igualdad de funciones continuas se extenderá a todo el espacio (incluso se pueden demostrar teoremas en el resumen de álgebra lineal a través de cualquier anillo de instrucción de esta manera). Todas las matrices tienen un FCC, por lo que supongo que las situaciones en las que usted puede probar las cosas por reducción a la FCC son estrictamente mayores que cuando se puede demostrar por reducción al diagonalizable la matriz. (Por ejemplo, el primer ejercicio que he mencionado.)

Answer 3

En general, si podemos encontrar una forma canónica para algún objeto, se simplifica el razonamiento sobre el objeto. Si queremos probar algún hecho, sólo tenemos que lidiar con la forma canónica en lugar de todas las posibilidades.

La forma normal de Jordan no es bastante canónica (los bloques pueden ser permutados en general), pero sirve para el mismo propósito. Se muestra cómo los autovalores repetidos pueden afectar el valor propio de la estructura.

Omnomnomnom la respuesta muestra cómo las funciones analíticas que pueden ser definidos, otras respuestas muestran cómo $\det$ $\operatorname{tr}$ están relacionadas con la a los autovalores.

Una palabra de advertencia, en ausencia de estructura especial (exacta o aritmética), es imposible determinar numéricamente el Jordan en la forma de una matriz si no se repiten o cerca de los autovalores.

Otras formas son mejores para numérica de trabajo, por ejemplo, la descomposición de Schur nos permite escribir una matriz en la forma $QTQ^*$, donde $Q$ es unitaria y $T$ triangular superior. De esta forma no revelan el espacio propio de la estructura, tan claramente como la forma normal de Jordan, pero puede ser calculado en una numéricamente estable de la moda.

Answer 4

Esencialmente la misma que la forma diagonal. Simplifica algunos cálculos, como poderes, etcetera. Si la matriz que está trabajando no es similar a una matriz diagonal, reposar mejor siguiente: la forma canónica de Jordan

Answer 5

Se ha demostrado en estas notas, página 29-30, que exponencial de una matriz cuadrada de $M$ se puede computar explícitamente si el o $M$ es diagonalisable o nilpotente, o si usted sabe cómo descomponer $M=S+N$ % matriz diagonal $S$y un nilpotente matriz $N$ $SN=NS$. Dicha descomposición se justifica por la forma normal de Jordania.