Colectores distingue por Gromov-Witten invariantes?

Question

¿Cuál es el ejemplo más simple de una variedad M^2n, que admite dos diferentes simpléctica structrues isotópicas con casi estructuras complejas, y de tal manera que Gromov Witten invariantes de estos simpléctica estructuras son diferentes? (por desgracia, no conozco ningún ejemplo...) Si no imponemos la condición de que casi el complejo structrues son isotópicas, existen ejemplos en dim 6.

AÑADIDO. LA PREGUNTA REFINADA.

Hay un manfiold $M^{2n}$ con dos simpléctica formas $w_1$, $w_2$, tal que el cohomology clases de $w_1$ $w_2$ son los mismos y la correspondiente casi estructuras complejas son homotópica, pero, al mismo tiempo, la Gromov Witten invariantes son diferentes?

Answer 1

Los ejemplos en Ruan el papel de "topología Simpléctica en algebraicas 3-pliegues" (JUE 1994) parecen calificar: tomar cualquiera de las dos superficies algebraicas V y W que se homeomórficos pero tal que V es mínima y W no lo es. Estos son nondiffeomorphic, pero VxS² y WxS² son diffeomorphic, y Ruan da un montón de ejemplos (a partir de V igual a la de Barlow superficie y W igual a la de 8 puntos por la voladura de la CP²) donde el diffeomorphism puede ser arreglada para entrelazan la primera de las clases de Chern, donde por un teorema de la Pared de la casi estructuras complejas son isotópica. Sin embargo, la distinción entre el GW invariantes entre V y W (que tiene porque V es mínima y W no) sobrevive a VxS² y WxS², por lo que VxS² y WxS² no simpléctica deformación equivalente.

Answer 2

Aquí es una respuesta a la pregunta REFINADA que me ha dado por Richard Thomas. En esta versión refinada queremos un ejemplo de que la cohomology las clases de dos simpléctica formas coinciden.

En un artículo posterior de 1996, el Duque Vol. 83 TOPOLÓGICO SIGMA MODELO Y DONALDSON TIPO INVARIANTES DE GROMOV TEORÍA, Ruan demostrado que tales refinado existen ejemplos. Él admitió en este trabajo que para el $V\times S^2$ ejemplos del papel en JUE 1994 (citado por Mike Usher) que no sabe si las clases de construido simpléctica formas puede coincidir demasiado. De hecho esto no parece muy plausible.

Estos refinados ejemplos son dos $3$-dimensiones de Calabi-Yau colectores, construido por la Marca Bruto. La construcción se describe en el papel de Marca Bruto (1997): "La deformación del espacio de Calabi-Yau $n$-pliegues con canónica singularidades pueden ser obstruida". Una $3$-dimensiones de Calabi-Yau es un buen anti-canónica de la sección de $P^1\times P^3$ y el sobre es un suave anti-canónica de la sección de la projectivsation del paquete $O(-1)+O+O+O(1)$ $P^1$ .

La construcción de Bruto es recordado en las páginas 47-48 de http://xxx.soton.ac.uk/PS_cache/math/pdf/9806/9806111v4.pdf

El uso de la Pared del teorema de Ruan demuestra que estos dos Calabi-Yau los colectores son differomorphic. Posteriormente se estudia el quantum cohomology anillos de estas Calabi-Yaus y demuestra que no son diferentes.