Es decir, en qué condiciones
$$ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{b_i}= \frac{\sum_{i = 1}^n a_i}{\sum_{i = 1}^n b_i} $$
¿es cierto? ¿Qué pasa con las sumas infinitas, es decir, cuando $n \rightarrow \infty$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Simon
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El siguiente resultado puede ser de ayuda:
Teorema : Si $a_i\ge 0$ , $b_i>0$ para todos $i$ y no todos $a_i$ s son cero, entonces $$ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{b_i}= \frac{\sum_{i = 1}^n a_i}{\sum_{i = 1}^n b_i} $$ hace no aguantar.
Prueba : Si $a_i\ge 0$ , $b_i>0$ para todos $i$ podemos demostrar por inducción matemática que $$\frac{\sum_{i = 1}^n a_i}{\sum_{i = 1}^n b_i}\le \max_{1\le i\le n}\frac{a_i}{b_i}.\ \ (*)$$
y $$\max_{1\le i\le n}\frac{a_i}{b_i}\le\sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{b_i}.\ \ (**)$$
La igualdad de $(*)$ se mantiene cuando $a_1/b_1=\cdots=a_n/b_n$ y la igualdad de $(**)$ se mantiene cuando a lo sumo uno de $a_i$ s son distintos de cero; esto sugiere la igualdad de $(*)$ y $(**)$ mantener al mismo tiempo sólo cuando todos $a_i$ s son cero.
Por lo tanto, si $a_i\ge 0$ , $b_i>0$ para todos $i$ y no todos $a_i$ s son cero, $$ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{b_i}>\frac{\sum_{i = 1}^n a_i}{\sum_{i = 1}^n b_i}. $$
