si $x^3-x\in\mathbb{Z}$ y $x^4-x\in\mathbb{Z}$ para algunos $x\in\mathbb{R}$ entonces $x\in\mathbb{Z}$ .

Question

Supongamos que $x^3-x\in\mathbb{Z}$ y $x^4-x\in\mathbb{Z}$ para algunos $x\in\mathbb{R}$ . Demostrar que $x\in\mathbb{Z}$ .

mi intento: Deja que $a=x^3-x$ y considerar el polinomio $X^3-X-a$ entonces $x$ es una raíz de la misma y si $x\in\mathbb{Q}$ entonces, obviamente $x\in\mathbb{Z}$ . Pero no da nada si $x\notin\mathbb{Q}$ , por lo que seguramente no es el camino correcto.

Answer 1

Dejemos que $x^3-x=a$ y $x^4-x=b$ .

Hagamos algunos pasos del algoritmo euclidiano para el GCD polinómico:

$x^4-x-b=x(x^3-x-a)+(x^2+(a-1)x-b)\\ \implies x^2+(a-1)x-b=0$

$x^3-x-a=x(x^2+(a-1)x-b)+((1-a)x^2+(b-1)x+a)\\ \implies (1-a)x^2+(b-1)x+a=0$

$0=(1-a)(x^2+(a-1)x-b)-((1-a)x^2+(b-1)x+a)$

$\implies x ((1-a) (a-1)-b+1)-(1-a) b-a=0$

y así $x$ es racional, a menos que $((1-a) (a-1)-b+1)=0$ y $(1-a) b-a=0$ .

La última condición se da para los números enteros $a$ y $b$ si $a=b=0$ , en cuyo caso $x=0$ o $x=1$ .

Answer 2

De la suposición de la pregunta podemos encontrar $a,b\in\mathbb{Z}$ tal que: $x^3-x-a=0$ y $x^4-x-b=0$ , usando esto tenemos: $$x.x^3=x^2+ax=x+b$$ entonces $$ x^2+(a-1)x-b=0\,\, (1)$$

así que $x^2=(1-a)x+b$ y se puede concluir que $((1-a)x+b)^2=x+b$ después de gastar esto tenemos : $$ x^2+(\frac{2b}{1-a}-1)x+\frac{b^2-b}{(1-a)^2}\,\, (2)$$

y utilizando (1) y (2) concluimos que $$(\frac{2b}{1-a}-a)x+\frac{b^2-b}{(1-a)^2}+b=0 $$ y si $x\in \mathbb{R-Q}$ entonces $2b=a(1-a)$ y $b^2-b-b(1-a)^2=0$ y esto implica $b=0$ o $b=1+(1-a)^2$

caso 1: si $b=0$ entonces $a=0$ o $a=1$ y sólo hay soluciones enteras en $x$

caso $2$ : si $b=1+(1-a)^2$ entonces $1-a$ es la solución a $2-y+3y^2=0$ lo que implica $23+(6y-1)^2=0$ que es imposible

en todos los casos $x\in \mathbb{Q}$ por lo que se puede concluir que $x\in \mathbb{Z}$ también.