Estudios adicionales sobre las series e integrales de Fourier.

Question

Si tuvieras que elegir dos libros de la siguiente lista, ¿qué pareja elegirías y por qué? Si no has leído ninguno, ¿elegirías alguna pareja de la lista basándote en el autor del libro? Estoy tratando de elegir dos, pero necesito orientación. La lista es del final del capítulo de Análisis Matemático de Apostol sobre la Teoría de Fourier, titulado "Referencias para estudios posteriores". Esto es lo que Apostol ha cubierto:

• Mejor aproximación, serie de Fourier relativa a un sistema ortonormal. Propiedades de los coeficientes de Fourier (Bessel, Parseval). Riesz Fischer.
• Problemas de convergencia y representación de series trigonométricas. Lema de Riemann Lebesgue. Integrales de Dirichlet.
• Representación Integreal para las sumas parciales. Teorema de localización de Riemann.
• Condición suficiente para la convergencia puntual (Dini, Jordan). Sumabilidad de Cesaro. Teorema de Fejér. Consecuencias. Teorema de aproximación de Weiertrass.
• Otras formas de series de Fourier (forma exponencial, períodos generales)
• El teorema de la integral de Fourier. Forma exponencial del teorema de la integral de Fourier. Transformadas integrales. Convoluciones.

• La fórmula de suma de Poisson.

  1. Carslaw, H. S., Introducción a la teoría de las series e integrales de Fourier , $3^{\rm rd}$ ed. Macmillan, Londres 1930.
  2. Edwards, R. E., Series de Fourier, una introducción moderna , vol. 1. Holt, Rinehart and Winston, Nueva York, 1967.
  3. Hardy, G. H., y Rogosinski, W. W., Series de Fourier. Cambridge Universiy Press, 1950.
  4. Hobson, E. W., Teoría de las funciones de una variable real y teoría de las series de Fourier Vol. 1, $3^{\rm rd}$ ed. Cambridge Universiy Press, 1927.
  5. Indritz, J. Métodos de análisis . Macmillan, Nueva York, 1963.
  6. Jackson, D., Series de Fourier y polinomios ortogonales . Carus Monograph NO. 6. Open Court, Nueva York, 1941.
  7. Rogosinski, W. E., Series de Fourier . Chelsea, Nueva York, 1941.
  8. Titchmarsh, E. C., Teoría de las integrales de Fourier . Oxford University Press, 1937.
  9. Wiener, N., La integral de Fourier . Cambridge Universiy Press, 1933.
  10. Zygmund, A., Series trigonométricas , $2^{\rm nd}$ ed. Cambridge Universiy Press, 1968.

[Sospecho que esto debería hacerse comunidad Wiki]

Answer 1

@Peter, recomiendo encarecidamente el libro de T.W. Körner Análisis de Fourier (ver http://www.amazon.com/Fourier-Analysis-T-246-rner/dp/0521389917/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1376232360&sr=1-1&keywords=korner+fourier+analysis ) y el libro de ejercicios que lo acompaña. Está muy bien escrito, lleno de cosas interesantes y accesible para los buenos estudiantes.

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario) No sabía que habías aprendido de Apostol. Por lo que recuerdo, Apostol te permite entrar en ciertos temas sin grandes prerrequisitos restringiendo ligeramente la generalidad en algunos casos. Por ejemplo, supongo que no necesitabas saber teoría de la medida, y él sólo demuestra una versión de la integración de Riemann-Lebesgue sobre un intervalo finito $[a,b]? $

Mi principal consejo es que dejes de lado las series de Fourier durante un tiempo, que las dejes reposar en tu cerebro mientras aprendes otras áreas importantes del análisis porque son esenciales para el estudio posterior. La teoría de la medida y el análisis funcional (los requisitos previos son los espacios métricos y la topología general) son cruciales no sólo para las series de Fourier, sino para la mayoría de los temas del análisis.

Una vez que conozcas esos temas, puedes saltarte todos esos libros de la lista y trabajar con Katznelson. Realmente creo que es el mejor plan. Seguro que puedes retrasar el aprendizaje de la teoría de la medida y el análisis funcional y aprender un poco más sobre las series de Fourier sin ellos, pero eventualmente los necesitarás y si los tienes, el mismo material en los libros más elementales es más fácil de demostrar y almacenar en la cabeza de uno.

Answer 3

Recomiendo encarecidamente Champeney, A Handbook of Fourier Theorems aunque omita las pruebas. Está actualizado, es muy completo y fiable. Si quieres aprender la demostración de uno de esos resultados, da una referencia fiable. Todas las definiciones están explicadas.