Supongamos continua con período $f$s.t. $2\pi$$\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)~dx=0$ y $\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)~dx=0 $. Prueba $f=0$

Question

Supongamos $f$ es una función continua del período $2\pi$ tal que $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)~dx=0, ~k=0,1,…$$ $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)~dx=0, ~k=1,2,…$$

Demostrar $f$ es idéntica a cero. Da a dos pruebas de este resultado.

Estoy aprendiendo serie de Fourier. Sólo puedo dar una prueba.

Mi prueba:

Por supuesto, tenemos $a_k=0,b_k=0$ donde $a_k$ $b_k$ son los coeficientes de Fourier de $f$. Claramente, $f$ es Riemann integrable en $[-\pi, \pi].$ $f(-\pi)=f(\pi).$ Tenemos $$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f-S_n\|=0,$$ where $S_n$ is the Fourier series of $f$. Esto implica $$\frac{1}{\pi}\|f\|_{L^2}=\frac{a_0^2}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(a_k^2+b_k^2)=0.$$ So, $f=0$.

Sin embargo, yo no puedo dar otra prueba de uso de los teoremas de la transformada de Fourier de la serie.

Answer 1

Una muy elemental es la prueba por contradicción. Suponga que WLOG $f(0)>0$. Por la continuidad, $f(x)>f(0)/2$ en algunos intervalo de $\Delta=(-\delta,\delta)$. Entonces es posible construir polinomios trigonométricos $p_k(x)$ tal que $$ \int_{-\pi}^\pi f(x)p_k(x)\,dx\+\infty\quad\text{como }k\+\infty\etiqueta{1} $$ lo que hace que la contradicción con todas estas integrales son cero por la asunción de $\hat f(n)=0$. Por ejemplo, uno puede tomar $$ p(x)=\epsilon+\cos x $$ por lo suficientemente pequeño como $\epsilon>0$ para asegurarse de que $|p(x)|<1-\epsilon/2$ $[-\pi,\pi]\setminus\Delta$ y el conjunto de $$ p_k(x)=p(x)^k $$ que va a crecer dentro de $\Delta$ y se desvanecen en el exterior. Algunos relativamente simple de las estimaciones muestran que (1) se mantiene.

Answer 2

Otra prueba puede ser construida con la Fejer medios. Si $S_0(f)=\frac{1}{2}a_0$ y $$ S_n(f) = \frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{n}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), \;\; n \ge 1, $$ entonces $$ F_n(f) = \frac{1}{n}(S_0(f)+S_1(f)+\cdots+S_{n-1}(f)) $$ converge a $f(x)$ $n\rightarrow\infty$ en cada punto de $x$ donde $f$ es continua.

Otra prueba puede ser construido a partir de la serie de Fourier para $$ g(x)=\int_{-\pi}^{x}f(t)dt $$ Esta función es continuamente diferenciable y periódico porque $$ g(\pi)-g(-\pi)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt = 2\pi a_0(f) = 0. $$ Por lo tanto, la serie de Fourier para $g$ converge pointwise a $g$. Los coeficientes de Fourier para $g$ están relacionados con los de $f$. Por ejemplo, $$ \int_{-\pi}^{\pi}g(x)\sin(nx)dx \\ = \left.-\frac{\cos(nx)}{n}g(x)\right|_{x=-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)f(x)dx \\ = \frac{1}{n}a_n(f). $$ La conclusión es que el$a_n(g)=b_n(g)=0$$n \ge 1$, y, por lo tanto, $g$ es constante, lo que obliga $0=g'(x)=f(t)-\frac{1}{2}a_0$. Por lo $f$ es idéntica $0$.