Condición necesaria para la convergencia de una integral impropia.

Question

Mi profesor de cálculo mencionó el otro día que cuando separamos una integral impropia en integrales más pequeñas, la integral impropia es convergente si las dos partes de la integral son convergentes. Por ejemplo:

$$ \int_0^{+\infty} \frac{\log t}{t} \mathrm{d}t = \underbrace{\int_0^1 \frac{\log t}{t} \mathrm{d}t}_{\text{Diverges to }-\infty} + \underbrace{\int_1^{+\infty} \frac{\log t}{t} \mathrm{d}t}_{\text{Diverges to }+\infty} $$

Así que la integral no convergería, porque una de las partes de la integral es divergente (o ambas en este caso).

Sin embargo, no veo por qué la parte que diverge a $-\infty$ y la parte que diverge a $+\infty$ no puede anularse y hacerla converger, por muy contraintuitivo que parezca. Es lo que ocurre con la integral de Dirichlet en cierta medida, aunque las áreas estén acotadas.

Puede ser que el problema surja cuando las cosas tienden a $\pm\infty$ pero si no recuerdo mal esto no es un problema para la suma de una serie infinita, por ejemplo

$$\sum_{n=1}^{\infty}A_n+B_n= \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}A_n}_{\text{Diverges to }+\infty} + \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}B_n}_{\text{Diverges to }-\infty} \nRightarrow \nexists \sum_{n=1}^{\infty}A_n+B_n \vee \sum_{n=1}^{\infty}A_n+B_n= \pm \infty $$

¿Dónde surge el problema?

Además, si mi uso de la simbología es incorrecto (que sospecho que lo es), por favor, dímelo. Estoy tratando de escribir de manera más formal y eficiente.

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Todo es cuestión de cómo definir una integral impropia. La forma tradicional es escribir

$$\int_a^b f(t)\, dt = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} \int_x^y f(t)\, dt$$

siempre que uno de los límites sea preocupante. En particular, podemos escribir

$$\int_a^b f(t) \,dt = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} \left(\int_x^1 f(t) \, dt + \int_1^y f(t)\, dt \right)$$ o $$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} \left(\int_x^1 f(t) \,dt \right) + \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} \left( \int_1^y f(t) \,dt \right) $$

para que

$$\int_a^b f(t)\, dt = \lim_{x \to a} \left(\int_x^1 f(t) \,dt \right) + \lim_{y \to b} \left(\int_1^y f(t)\, dt \right).$$

Ahora bien, la convergencia significa que la integral es finita y la única manera de que la suma de dos números sea finita es que ambos sean finitos. De ahí el comentario de tu profesor. Todo lo anterior supone $a < 1 < b$ y que no hay problemas con $f$ cerca de $t=1$ .

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Pero tienes razón en que puedes conseguir la anulación si tomas los límites de otra manera. En lugar de tomar el límite a y luego el límite b secuencialmente, si los tomas al mismo tiempo -es decir, los combinas- podrías obtener la cancelación.

He aquí un ejemplo. Si definimos en cambio la integral impropia como

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \tan t\, dt = \lim_{x \to \pi/2} \int_{-x}^x \tan t\,dt$$

entonces

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \tan t\, dt = \lim_{x \to \pi/2} \left(- \ln \cos(x) + \ln \cos(-x) \right) = 0.$$

Lo que estás pensando es un concepto útil y a menudo aparece con el término Valor Principal en los cursos de cálculo más avanzados.

Answer 2

Es una cuestión de convención, y la notación precisa de qué tipos de infinitos se pueden anular y cuáles no depende de la noción precisa de "integral" que se utilice. Para las integrales de Riemann, las convenciones habituales son las siguientes

1. Para integrales propias es decir, las integrales $\int_a^b f(x)\,dx$ con un número finito de $a$ y $b$ no se permite la cancelación de infinitos. Así, si el área por encima de el $x$ -o el área por debajo de él, son infinitos, la integral no existe.

2. Para integrales impropias se permite que los infinitos se cancelen a en cierta medida . La integral $\int_a^\infty f(x)\,dx$ es definido como $$ \int_a^\infty f(x)\,dx := \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx. $$ Por lo tanto, es posible que el total áreas de $f$ por encima y por debajo del $x$ -eje son infinitos, pero dentro de cada finito rango deben ser finitos. Pero ambas áreas pueden crecer y hacerse más grandes a medida que $b$ aumenta - desde que se toma el límite después de las áreas positivas y negativas se restan, el límite puede existir aunque ambas partes crezcan arbitrariamente. Esto es lo que ocurre con la integral de Dirichlet.

Para integrales propias , está la noción de la valor principal de una integral (de otro modo indefinida), escrita $\text{PV}\int\,\ldots$ que hace permiten que las áreas infinitas se anulen. Por ejemplo, $$ \text{PV}\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \,dx = \lim_{\delta\to 0} \int_{[-1,1]\setminus [-\delta,\delta]} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{\delta\to 0} \left(\int_{-\infty}^\delta \frac{1}{x}\,dx + \int_\delta^\infty \frac{1}{x}\,dx\right) = 0, $$ aunque $\int_{-1}^1\frac{1}{x}\,dx$ hace no existen son una integral propia. Este es el tipo de anulación que tienes en mente, creo. Considero que el hecho de que las integrales impropias se suelen considerar todavía integrales algo "normales", mientras que llamar integrales a las anteriores $\frac{1}{x}$ -tipo "valores principales" más un accidente histórico que otra cosa.

Para integrales de lebesgue es decir, la definición integral utilizada en la teoría de la medida, las áreas infinitas son nunca se permite la anulación. Las integrales de Lebesgue pueden definirse directamente incluso para límites infinitos, es decir, la definición de $\int_a^\infty \ldots$ como $\lim_{b\to\infty} \int_a^b \ldots$ ya no es necesario. Pero si las áreas positiva y negativa bajo el integrando son infinitas, la integral es indefinida. La integral de direchos, por ejemplo, es indefinido como una integral de Lebesgue. Tales integrales son, por cierto, las sólo casos en los que una integral puede ser definida como una integral de riemann (¡indefinida!), pero ser indefinida como una integral de lebesgue.

Si se estudia la teoría de las integrales de Lebesgue, es decir, la teoría de la medida, quedará claro que nunca Permitir que los infinitos se cancelen tiene enormes ventajas (aunque ésta no es la única diferencia entre las dos definiciones integrales. Las integrales de Lebesgue también tienen muchas otras ventajas).

Answer 3

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx = \text{what?} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx = \underbrace{\int_{-\infty}^0 x\,dx}_{\text{Diverges to }-\infty} + \underbrace{\int_0^\infty x\,dx}_{\text{Diverges to }+\infty} $$ Pero $$ \lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a x\,dx = 0. $$

Este es un ejemplo más complicado: $$ \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a \frac{x\,dx}{1+x^2} = 0 \tag 1 $$ pero $$ \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{2a} \frac{x\,dx}{1+x^2} = \lim_{a\to\infty} \frac 1 2 \log_e \frac{1+4a^2}{1+a^2} = \log_e 2. $$

Reorganizar una suma o una integral puede dar como resultado un valor diferente sólo si las partes positiva y negativa divergen al infinito.

El resultado en $(1)$ es el "valor principal" de esta integral impropia.