Sea A una región en $\mathbb R^3$ y supongamos que $ \vec {\mathbf F}$ es un campo vectorial suave en A. Me pidieron que demostrara que puedo escribir $\vec {\mathbf F}=\vec {\mathbf F_1}+\vec {\mathbf F_2}$ , s.t. $\operatorname{rot}(\vec {\mathbf F_1})=0, \operatorname{div}(\vec {\mathbf F_2})=0$ . ¿Cómo puedo mostrar esto? Creo que esto tiene algo que ver con la física?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que esto es correcto yo esperanza es correcto, pero estoy escarbando en la memoria sin notas ni libros; de todos modos, aquí va: Considere $\nabla \cdot F$ ; es un escalar función en $A$ . Consideremos la ecuación de Poisson en $A$ $\nabla^2 \phi = \nabla \cdot F$ . Encontrar (o, mejor en el contexto actual, asume la existencia de) tal $\phi$ . Entonces $\nabla \cdot (F - \nabla \phi) = 0$ en $A$ . Invoca el resultado clásico de que un campo sin divergencia es un rizo (un "rot" en la terminología de la OP), por lo que existe un campo vectorial $C$ en $A$ tal que $\nabla \times C = F - \nabla \phi$ Entonces $F = \nabla \times C + \nabla \phi$ con $\nabla \cdot \nabla \times C = 0$ (ya que es un rizo una "podredumbre", si se quiere) y, por supuesto, $\nabla \times \nabla \phi = 0$ ya que $\nabla \phi$ es un gradiente. ¡Uf! Este material, de hecho, tiene todo que tiene que ver con la física; consulte el electromagnetismo y las ecuaciones de J. C. Maxwell; vea la obra de Feynman Conferencias , vol. II.
Esta pregunta y su respuesta están profundamente relacionadas con este .
El mejor de los éxitos en estos empeños. Salud.
