¿Por qué son los diagramas de Dynkin caracteriza por sus autovalores?

Question

Los diagramas de Dynkin Un_n, D_n, E₆, E₇, E₈ puede ser caracterizado entre finitos simples relacionados gráficos por la propiedad de que sus valores propios (es decir, los valores propios de sus matrices de adyacencia), todas tienen valor absoluto estrictamente menor que 2. Lo que hace esta condición tiene que ver con la ADE clasificación, la aljaba de representaciones, y así sucesivamente?

Answer 1

El interior del producto que Ben se describe (2-la matriz de adyacencia) se muestra también en la clasificación de la simple Mentira grupos y álgebras. Es la matriz de interior de los productos entre la simple raíces. Para cualquier n vectores v_1, ..., v_n en R^n, la matriz < v_i, v_j > es positiva semi-definida.

Answer 2

Sí. Por ejemplo, con la aljaba de representaciones, tenemos una fórmula

$\chi(M,N)=\dim Hom(M,N)-\dim Ext^1(M,N) = \sum d_i(M)d_i(N) - \sum_{i \to j} d_i(M)d_j(N).$

donde $d_i(M)$ es la dimensión de M en el nodo i. La prueba es comprobar que es cierto para los simples, y, a continuación, tenga en cuenta que la categoría de representaciones de la ruta de álgebra de un carcaj ha dimensión global 1.

Así, lo que he mencionado anteriormente es que esta es positiva definida si y sólo si el grafo es Dynkin. Bien, lo bueno de ser positiva definida? Para una cosa, si un objeto tiene trivial Ext^1 con la misma, entonces es rígido, no tiene deformaciones. Por otro lado, también debe tener la $\chi(M,M)>0$, ya que el Hom siempre ha dimensión positiva, y $Ext_1(M,M)=0$.

Por lo tanto, si nuestra aljaba no es Dynkin, tiene la dimensión de los vectores donde ningún módulo puede ser rígido. Por otro lado, si se trabaja un poco más difícil, puede mostrar Gabriel del teorema:

si el gráfico es de Dynkin, cada vector de dimensión tiene un rígido único módulo y este es indecomposible si y sólo si $\chi(M,M)=1$, que es el si $M$ es un resultado positivo de la raíz de la raíz del sistema.

Answer 3

Para aquellos que estén interesados, el papel arXiv:0805.1018 es algo relacionado con.