Finito implica cuasi-finito

Question

Por favor, ayuda si conoces una prueba o una buena referencia para el siguiente hecho (ejercicio 3.5, texto de Hartshorne).

Es un hecho. Un morfismo finito de esquemas $f: X \rightarrow Y$ es cuasi-finito.

Aquí, la definición de cuasi-finito se toma como $f^{-1}(q)$ es finito para todo $q \in Y$ .

Answer 1

Permítanme mostrar de forma elemental, como complemento a la buena respuesta de TTS, que un álgebra de dimensión finita $A$ sobre un campo $k$ tiene un espectro finito $\operatorname {Spec} A$ es decir, que $A$ sólo tiene un número finito de ideales primos.

a) Todo ideal primo $\mathfrak p\subset A$ es máxima
En efecto, $A/\mathfrak p$ es un álgebra integral de dimensión finita sobre $k$ y, por tanto, es un campo ( aquí es una prueba), por lo que $\mathfrak p$ es máxima.

b) Sólo hay un número finito de ideales maximales en $A$
Si $\mathfrak m_1, \cdots, \mathfrak m_r\subset A $ son ideales máximos distintos, el teorema del resto chino (Atiyah-Macdonald, Proposición 1.10) implica que $A\to A/\mathfrak m_1\times \cdots \times A/\mathfrak m_r \;$ es suryente, por lo que $\operatorname { dim }\: A\geq \sum \operatorname {dim}(A/\mathfrak m_i)\geq r$ .

Por lo tanto, deducimos que $A$ tiene como máximo $\operatorname { dim } A\: $ ideales máximos y, teniendo en cuenta b), a lo sumo $\operatorname { dim }\: A $ ideales primos.

Answer 2

Hartshorne indica en algún momento que la fibra corresponde a $X \times_Y \operatorname{Spec} k(q)$ . El morfismo de éste a $\operatorname{Spec} k(q)$ sigue siendo finito, por lo que sólo hay que saber que si $k$ es un campo y $A$ una dimensión finita $k$ -entonces $\operatorname{Spec} A$ es finito.

Se podría citar algún teorema sobre anillos artinianos, pero el lenguaje geométrico nos ayuda a dar una prueba. Algunos pasos: (i) los puntos de $\operatorname{Spec} A$ son cerrados (ii) los componentes irreducibles son sólo puntos (iii) $A$ es noetheriano.