Quiero demostrar que la exploración sistemática muestreador de Gibbs de los rendimientos de una aperiódica de la cadena de $X$ en un estado general de espacio. Deje $\pi$ ser la distribución estacionaria de la resultante de la cadena.
Supongamos que para obtener una contradicción que el sampler es periódica con período de $d$ y asociada a la partición de $A_0,..,A_{d-1}$, lo que significa que cuando a partir de $X_0\in A_0$, tenemos $X_1\in A_1$, $\ldots$, $X_{d-1}\in A_{d-1}$ y $X_d\in A_0$. Por lo tanto, por ergodicity, tenemos $\pi(A_k) = 1/d$ todos los $k$.
Se corrige el orden de exploración como $1,...,k$ sin pérdida de generalidad. Escribir $Y_0 = X_n$ y deje $Y_1$ ser el estado de la cadena de Markov después de la primera actualización en la iteración $n$ del Muestreador de Gibbs, $Y_2$ el segundo y así sucesivamente. Luego condicional en $Y_1,..,Y_{k-1}$ los dos elementos aleatorios $X_n = Y_0$ $X_{n+1} = Y_k$ son condicionalmente independientes. Por lo tanto $$\mathbb{P}(X_{n+1} \in A_k | X_n \in A_k,Y_1,...,Y_{k-1}) = \mathbb{P}(X_{n+1} \in A_k | Y_1,...,Y_{k-1})$$sostiene. Y aquí es el paso que no entiendo:
En orden para la toma de muestras para ser periódica, debemos tener: $$\mathbb{P}(X_{n+1} \in A_k | X_n \in A_k) = \mathbb{E}[\mathbb{P}(X_{n+1} \in A_k | X_n \in A_k,Y_1,...,Y_{k-1}) | X_n \in A_k]$$
igual a cero. ¿Por qué podemos escribir la probabilidad condicional como esta expectativa de valor? ¿Y esto implica que $\mathbb{P}(X_{n+1} \in A_k | Y_1,...,Y_{k-1})$ es cero.s. wrt a $\pi$? Es esto algo así como el total de la probabilidad de la ley?
